大题强化训练（10）-2023届高三数学高考复习大题强化训练（新高考地区专用）

2023届大题强化训练(10) 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cosB，b＝cosA． (1)求证：存在△ABC，使得c＝1； (2)求△ABC面积S的最大值． 2.在数列中，已知，，. （1）若，求数列的通项公式； （2）记，若在数列中，，求实数的取值范围. 3.如图1所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC＝2，AD＝3，CD＝，边AD上一点E满足DE＝1，现将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使平面PBE⊥平面BCDE，如图2所示． （1）求证：； （2）求平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值． 4.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否对学生体育锻炼的经常性有影响，为此随机抽查了男女生各100名，得到如下数据： 性别 锻炼 不经常 经常 女生 40 60 男生 20 80 （1）依据的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系； （2）从这200人中随机选择1人，已知选到的学生经常参加体育锻炼，求他是男生的概率； （3）为了提高学生体育锻炼的积极性，集团设置了“学习女排精神，塑造健康体魄”的主题活动，在该活动的某次排球训练课上，甲乙丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人.求第次传球后球在甲手中的概率. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 5.已知，为椭圆的左、右焦点，且A为椭圆上的一点. （1）求椭圆E的方程； （2）设直线与抛物线相交于两点，射线，与椭圆E分别相交于M､N.试探究：是否存在数集D，对于任意时，总存在实数t，使得点在以线段为直径的圆内？若存在，求出数集D并证明你的结论；若不存在，请说明理由. 6.已知函数. (1)若，求的单调区间； (2)记函数，若恒成立，试求实数的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023届大题强化训练(10) 1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝cosB，b＝cosA． (1)求证：存在△ABC，使得c＝1； (2)求△ABC面积S的最大值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】(1)因a＝cosB，b＝cosA，由正弦定理得， 所以sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B， 在△ABC中，A，B∈(0，π)，且A＋B＜π，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，即A＝B或， 当时，，所以，即c＝1， 所以存在△ABC，使得c＝1． (2)①当时，； ②当A＝B时，A， 所以， 令(0，1)，则， 所以f′(x)＝，当时，f′(x)＞0；当时，f′(x)＜0，所以当时，，即当时，， 又，所以△ABC面积的最大值为． 2.在数列中，已知，，. （1）若，求数列的通项公式； （2）记，若在数列中，，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）由题意， ，得： ，运用累加法： ， ， ， ，n=1时，也成立，∴ ； （2）由（1） ， ， 由题意 ，即 ， 化简得： ， 当 时， ，即 ， 当 时， ，即 ， 即 ； 综上，，. 3.如图1所示，在直角梯形ABCD中，BC//AD，AD⊥CD，BC＝2，AD＝3，CD＝，边AD上一点E满足DE＝1，现将△ABE沿BE折起到△PBE的位置，使平面PBE⊥平面BCDE，如图2所示． （1）求证：； （2）求平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）取BE中点O，连接AO，CO，CE， 因为BC＝2，AD＝3，DE＝1，所以， 又因AD//BC，所以AE//BC， 所以四边形ABCE是平行四边形， 因为 所以， 所以ABCE为边长为2的菱形，且， 所以和都是正三角形， 所以PO⊥BE，CO⊥BE， 又因，所以BE⊥平面POC， 又因为平面POC，所以PC⊥BE． （2）由于平面PBE⊥平面BCDE，且交线为，， 所以平面，所以， 由（1）知OB、OC、OP两两垂直， 建立如图所示的空间直角坐标系，， ∴， 设平面PCE的法向量为， 则， 令得， 由（1）知平面PBE的法向量为， 所以平面PBE与平面PCE所成锐二面角的余弦值为． 4.为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某中学需要了解性别因素是否