6.4.3余弦定理、正弦定理（3个课时）-【361课堂】2022-2023学年高一数学同步“导思议展评测”精品课件(人教A版2019必修第二册)

6.4平面向量的应用 平面向量及其应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 第一课时 1 课程标准 1.会用向量的方法解决简单的平面几何问题、力学问题以及其他实际问题，体会向量在解决数学和实际问题中的作用； 2.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系，掌握余弦定理、正弦定理； 3.能利用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题。 2 复习回顾 回顾1 我们学习的向量知识中平行、垂直、夹角与模长的公式分别是怎样的？ 平行（共线）：, 垂直：， 夹角： 模长：或；设则 3 新课导入 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系. 例如，在初中，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系.对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系，得到了等判定三角形全等的方法.这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的.那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？ 下面我们利用向量方法来研究这个问题. 4 一 二 三 教学目标 掌握余弦定理的证明方法，掌握余弦定理公式 能从余弦定理公式推导出余弦定理的推论 能够利用余弦定理及其推论解决相应的问题 教学目标 难点 重点 易错点 新知探究 探究一：余弦定理及其推论 6 新知讲解 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等.这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的.也就是说，三角形的其他边、角都可以用这两边及其夹角来表示. 那么，表示的公式是什么？ 7 新知讲解 问题1 在中，三个角所对的边分别是，，，怎样用，和表示？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们考虑用向量的数量积来探究. 8 新知讲解 如图，设，，，那么. ① 我们的研究目标是用和表示，联想到数量积的性质，可以考虑用向量(即)与其自身作数量积运算. 由①得, . 所以. 9 新知讲解 . 同理可得， . 10 概念生成 于是，我们得到了三角形中边角关系的一个重要定理： 余弦定理：三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的积的两倍.即 ， ， . 利用余弦定理，我们可以从三角形已知的两边及其夹角直接求出第三边. 11 新知讲解 问题2 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系.应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎样确定呢？ ， ， . 可以得到如下推论： 12 新知讲解 利用推论，可以由三角形的三边直接计算出三角形的三个角. 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 余弦定理及其推论把用“”（两边及其夹角）和“”（三边）判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 13 新知讲解 问题3 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系，余弦定理则指出了三角形的三边与其中的一个角之间的关系.你能说说这两个定理之间的关系吗？ 如果中有一个角是直角，例如，，这时.由余弦定理可得，这就是勾股定理.由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例. 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 14 新知探究 探究二：余弦定理及其推论的应用 15 例题讲解 例5.在中，已知，，，解这个三角形(角度精确到，边长精确到). 余弦定理公式的运用 牢记公式 解：由余弦定理，得： ， 所以 由余弦定理的推论，得： 利用计算器，可得 所以 16 例题讲解 例6.在中，，，锐角满足，求(精确到). 解：因为，且为锐角， 所以. 由余弦定理，得： 所以 进而 利用计算器，可得 17 小结 1.余弦定理 ， ， . 2.解三角形的定义 一般地，三角形的三个角和它们的对边，，叫做三角形的元素.已知三角形中的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 18 6.4平面向量的应用 平面向量及其应用 6.4.3余弦定理、正弦定理 第二课时 19 一 二 三 教学目标 掌握正弦定理的推导过程，掌握正弦弦定理公式 掌握正弦定理变形的推导过程 能够利用正弦定理及其变形解决相应的问题 教学目标 难点 重点 易错点 复习回顾 回顾 余弦定理公式及其变形是怎样的？ 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式. 21 新知探究 探究一：正弦定理公式及其变形 22 新知讲解 问题1 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论.实际上，三角形中还有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量