第十届八年级试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（初中版）

第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 八年级试题（A卷） 一、选择题（每题6分，共36分） 1．解分式方程得（ ）． A． B． C． D．无解 2．计算=（ ）． A． B． C． D． 3．用包装纸包如图所示的一本书(单位：)，如果在书的封面和封底的每一边都包进去4，那么所需长方形包装纸的面积至少为（ ）． A． B． C． D． 4．已知实数、满足，，则的值为（ ）． A． B． C． D． 5．(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)的个位数字是（ ）． A．8 B．6 C．5 D．4 6．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠ABD=30°，AB=BD=AC，AE⊥AD且AE=AD，连接CD、CE、DE，则下列结论：①∠BAE=165°，②△ACE为等腰三角形，③BD⊥CE，④AD=CD，其中正确的是（ ）． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 二、填空题（每题6分，共36分） 7．已知实数、、满足，，，则++=________． 8．如图，已知在△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC，若∠BAD=，则∠B的度数为________度． 9．若关于的分式方程无解，则的值为________． 10．定义一种新的运算“@”：@=，其中、为常数，且使得等式恒成立，那么2@3=________． 11．如图，在等边△ABC中，边长为12厘米，点D为AB边上一点，DE⊥AC于点E，DF交AC于点G，交BC 的延长线于点F，若CF=AD，则EG的长度为________厘米． （第11题图） （第12题图） 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=，，AD是BC上的中线，作DE⊥AC，交AC于点E，作EF∥AD，交BC于点F，再作FG⊥AC，交AC于点G，如此作下去……设，，，…，，，…，则________． 三、解答题（每题12分，共48分） 13．解分式方程． 14．如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=，BD是∠ABC的平分线，作CE垂直BD的延长线于点E．求证：BD=2CE． 15．希希和望望同时到批发市场去进货，希希进件甲种商品和20件乙种商品所付钱款的总数等于望望进30件 甲种商品和件乙种商品所付钱款的总数，都是（）元，已知两种商品的进价相同，且 都是整数，求这两种商品每件的进价是多少元？ 16．如图，△ABC和△ADE都为等边三角形，点M、N分别为BD、CE的中点． (1)当点D、E分别在AB、AC上时(如图1)，求证：①BD=CE；②△AMN为等边三角形． (2)绕点A逆时针方向旋转△ADE，当点B、D、E共线时(如图2)，(1)中的结论是否还成立，若成立，请证 明；若不成立，请说明理由． (3)继续旋转△ADE，当点D在AC上时(如图3)，(1)中的结论是否仍然成立，若成立，请证明；若不成立， 请说明理由． 图1 图2 图3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 八年级试题（A卷）参考答案 一、选择题（每题6分，共36分） 1．D 提示：由得，即，不成立，∴原方程无解． 2．D 提示：原式=． 3．A 提示：． 4．B 提示：． 5．C 提示：原式=(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)…(22048+1)=24096－1=161024－1，6的任意正整数次幂的个位数字都是6． 6．D 提示：①由∠ABD=，AB=BD知∠BAD=，再由AE⊥AD得∠BAE=；②由∠BAD+∠CAD= ∠CAE+∠CAD=得∠BAD=∠CAE，再由AB=AC，AD=AE知△ACE≌△ABD，∴△ACE也为等腰三角形； ③过点A作AF∥CE交BC于点F，交BD于点G，如图，则∠AFB=∠BCE=+=，又∠CBD= －=，∴∠BGF