2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的综合

2023年中考数学高频考点突破——圆的综合 1．已知，如图，的三个顶点都在上，直径，为的弦， ，于，，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求的长． 2．如图，E是半圆O上一点，C是的中点，直径弦DC，交于点F． (1)求证：． (2)连结，当，时，求的值． 3．如图，在中，是互相垂直且相等的两条弦，，，垂足分别为D、E． (1)求证：四边形是正方形； (2)若，求劣弧的长． 4．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆交于点． (1)如图1，连接，求证：； (2)如图2，若，求证：． 5．如图，四边形内接于，是直径，点D是的中点． (1)求证：； (2)连接交于点E，若，，求的半径． 6．如图，在中，弦垂直平分半径，的长为10 (1)求的半径． (2)求劣弧的弧长及扇形的面积 7．如图，是的直径，于点A，C是上一点，于点E． (1)若，求证：． (2)若，，求BC的长． 8．如图，射线平分，O为射线上一点，以O为圆心，5为半径作，分别与两边相交于A、B和C、D，连接，此时有． (1)求证： (2)若弦，求的值． 9．如图，是的直径，弦平分，，过点D作的切线交的延长线于点E，连接． (1)求证：直线是的切线． (2)求证：． 10．在中，，以边上一点为圆心，为半径的圆与相切于点，分别交，于点，． (1)如图1，连接，求证：平分； (2)如图2，若点为的中点，连接，试判断的形状，并说明理由． 11．如图，已知为的直径，过上点的切线交的延长线于点，于点．且交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，，求BE的长， 12．如图，中，，以为直径作，点为上一点，且，连接并延长交的延长线于点． (1)判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的长． 13．如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求的长． 14．如图，为的真径，是的弦，的切线与的延长线交于点E，且 (1)求证：； (2)若，，求的直径． 15．如图，是的直径，点、在上，平分，是弧的中点，连接交于． (1)求证：； (2)若，，求的长． 16．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 17．如图，、是的两条弦，点是的中点，连接并延长、，分别交、的延长线于点、．且 (1)求证：； (2)若，，求的半径． 18．已知为的直径，，为上一点，连接，． (1)如图①，若为的中点，求的大小和的长； (2)如图②，若，为的半径，且，垂足为，过点作的切线，与的延长线相交于点，求的长． 19．如图，已知是的直径，点在的延长线上，切于点，过点作垂直于，交的延长线于点，连接并延长，交于点． (1)求证：； (2)若，，求半径的长及． 20．如图，点在轴正半轴上，点是第一象限内的一点，以为直径的圆交轴于两点． (1)与满足什么条件时，，写出满足的条件，并证明； (2)在（1）的条件下，若，，求长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等和角平分线的性质，得出，，再根据“”，得出，再根据全等三角形的性质，即可得出结论； （2）连接，根据题意和圆周角定理，得出，进而得出，再根据等边对等角，得出，进而得出，进而得出，再根据，计算即可得出答案． 【解析】（1）证明：如图，连接， ∵，，， ∴，， 在和中， ∵， ∴， ∴； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴． 【点评】本题考查了圆周角定理、角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等边对等角、等边三角形的性质、圆的概念，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线． 2．(1)见解析 (2) 【分析】（1）由是的中点得，由得，所以，则； （2）连结、，交于点，由，，得，则，即可证明四边形是菱形，因为，所以，再证明，由勾股定理得，则． 【解析】（1）解：证明：， ， ， ， ， ． （2）连结、，交于点，则， ， 由（1）得， ， ， ， 四边形是菱形， ， ， ，， ， ， ， 的值为． 【点评】此题重点考查圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据，，，可得四边形是矩形，由垂径定理可得，根据邻边相等的矩形是正方形可证； （2）连接，由勾股定理可得的长，再根据弧长公式进行求解． 【解析】（1）∵，，， ∴四边形是矩形，，， 又∵， ∴， ∴四边形是正方形． （2）如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴cm， 在中，由勾股定理