2023年九年级中考数学高频考点突破——圆的切线的证明

2023年中考数学高频考点突破——圆的切线的证明 1．如图，在等腰中，，，过A，C两点．且圆心O在边上． (1)求证：为的切线． (2)求图中阴影部分的面积． 2．如图，为的直径，点是弧的中点，点在的延长线上，且 (1)求证：是的切线； (2)连接，若，，求的长． 3．如图，是的切线，切点为A，是的直径，连接交于D，过点C作，连接交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若E恰好是的中点，且四边形的面积是，求阴影部分的面积； 4．如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若直径，，求的长． 5．如图，在中，，以的中点为圆心，为直径的圆交于，是的中点，交的延长线于． (1)求证：是圆O的切线； (2)若，，求的长． 6．如图，四边形内接于，，点E在的延长线上，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，为的直径，弦于E，连接，过A作，交于点F，连接，过B作，交的延长线于点G． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 8．如图，在等腰中，．E为的中点，平分交于D．经过B，D两点的⊙交于点G．交于点F．恰为的直径． (1)求证：与⊙相切． (2)当，时，求⊙的半径． 9．如图，为的直径，，为弦，，为延长线上的点，． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为6，求图中阴影部分的面积． 10．如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点P，过B点的直线交于点C，且． (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)若，，则线段的长为　 　． 11．如图，在中，点在斜边上，以为圆心，为半径作圆，分别与，相交于点，，连接．已知． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 12．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，过点D作，交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若的直径为5，，求的长． 13．如图，是的直径，点B在上，连接，过圆心O作，连接并延长，交延长线于点A，满足． (1)求证：是的切线； (2)若F是的中点，的半径为3，求阴影部分的面积． 14．如图，是的外接圆，是的直径，F是延长线上一点，连接，，且． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 15．如图， 是 的外接圆，且 ，点 在弧 上运动，作交 的延长线于点 ，连结 、． (1)求证：； (2)当点 运动到什么位置时， 是 的切线？请说明理由． 16．如图，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求阴影部分面积． 17．如图，内接于半圆，是直径，过A作直线，，D是弧的中点，连接交于G，过D作于E，交于F． (1)求证：是半圆的切线． (2)求证：． 18．如图，是的内接三角形，是的直径，点D在上，且，过点D作的垂线与的延长线交于点E． (1)求证：是的切线； (2)若，求的半径． 19．如图，是的直径，点C在的延长线上，平分交于点D，且，垂足为点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若，，求半径与线段的长． 20．如图，是的切线，切点为A，是的直径，连接交于E．过A点作于点D，交于B，连接，． (1)求证：是的切线； (2)求证：E为的内心； (3)若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，证明即可； （2）求出，根据直角三角形的性质和勾股定理求出，再用的面积减去扇形面积即可得解． 【解析】（1）解：如图，连结， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，且点A在上， ∴是切线； （2）由（1）可得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点评】本题考查了切线的判定，勾股定理，含的直角三角形，扇形的面积等知识，解题的关键是利用割补法构造图形求不规则图形的面积． 2．(1)见解析； (2)6． 【分析】（1）如图，连接，，由已知和对顶角相等得到，根据圆周角定理得到即，利用圆的性质对角进行等量代换即可得到，即可证明； （2）由圆周角定理和切线可知，，结合圆的性质从而得到，易证，利用相似的性质可得结合即可求解． 【解析】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点是弧的中点，为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∵点在上， ∴是的切线； （2）解：∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∴． 【点评】本题考查了圆周角定理、圆的基本性质、切线的证明和性质、相似三角形的证明和性质以及正切的求值；解题的关键是掌握相关性质，对已知条件进行构造和转换． 3．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据切线的性质及全等三角形的判定