第十四届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十四届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 高二年级 B 卷 - 1 - 1．设 ( ) ( ), ,0a b ∈ −∞ ，则“ a b> ”是“ 1 1a b a b − > − ”成立的 ( ). A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知三个正数 , ,a b c 成等比数列，则 a c b b a c + + + 的最小值为 ( ). A．1 B． 3 2 C．2 D． 5 2 3． 如图，有一直角墙角，两边的长度足够长，若 P 处有一棵 树与两墙的距离分别是 4m 和 am(0﹤a﹤12)，不考虑树的 粗细 . 现用 16m 长的篱笆，借助墙角围成一个矩形花圃 ABCD. 设此矩形花圃的最大面积为 u ，若将这棵树围在矩 形花圃内，则函数 ( )u f a= (单位：m2)的图象大致是( ). A． B． C． D． 4． 已知过椭圆 ( ) 2 2 2 2 1 0 x y a b a b + = > > 的焦点 1F ， 2F 的两条互相垂直的直线的交 点在椭圆内部 (不含边界 )，则此椭圆离心率的取值范围是 ( ). A． ( )0,1 B． 20, 2        C． 2 ,1 2        D． 1 2, 2 2        得分 评卷人 一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 ) 高二年级试题 (B 卷 ) (时间：120 分钟 满分：150 分 ) 高二年级 B 卷 - 2 - 5． 若 离 散 型 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 ( )( )1 2( ) 2 1 2 1 k k k mP X k + ⋅ = = − − （1 ≤ k ≤ 5，k ∈ Z） 则 3 5( ) 2 2 P X< < 的值为 ( ). A． 3 16 B． 6 31 C． 5 16 D． 12 31 6． 已知 , ,a b c 是△ ABC 的三边，若满足 2 2 2 2 2, ( ) ( ) 1,a ba b c c c + = + =即 △ ABC 为直角三角形．类比 此结论：若满足 n n na b c+ = (n ∈ N，n ≥ 3) 时，△ ABC 的形状为 ( ). A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 7．已知 ( ) 2 0 = , | 2 0 3 6 0 x y D x y x y x y  + − ≤    − + ≤     − + ≥  ，给出下列四个命题： ( )1 : , , 0P x y D x y∀ ∈ + ≥ ( )2 : , , 2 1 0P x y D x y∀ ∈ − + ≤ ( )3 1: , , 4 1 yP x y D x + ∃ ∈ ≤ − − ( ) 2 2 2 : , , 2P x y D x y∃ ∈ + ≤ 其中真命题的是 ( ). A．P1，P2 B．P2，P3 C．P3，P4 D．P2，P4 8．若 1 2 1, ,2 , 2 x x  ∀ ∈    都有 3 2 1 1 2 2 1 ln 3a x x x x x + ≥ − − 成立，则实数 a 的取