第十四届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十四届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 高二年级 A 卷 - 1 1. 已知命题 : ,2 3x xp x R∃ ∈ > ；命题 : (0, ), tan sin 2 q x x xπ∀ ∈ > . 下列命题是真命 题的是 ( ). A． ( )p q¬ ∧ B． ( ) ( )p q¬ ∨ ¬ C． ( )p q∧ ¬ D． ( )p q∨ ¬ 2． 设 集 合 1 10, , ,1 2 2 A B   = =      ， 函 数 1 , ( ) 2 2(1 ), x x A f x x x B  + ∈=   − ∈ ， 若 0x A∈ ， 且 [ ]0( )f f x A∈ ，则 0x 的取值范围是 ( ). Ａ． 10, 4      　　　 Ｂ． 1 1, 4 2       　　　 Ｃ． 1 1, 4 2      　　　Ｄ． 30, 8      3．已知实数 ,x y 满足 1 0 1 0 1 x y x y y + − ≤  − + ≥  ≥ − ，则 9 18 2 2 2 y xz x y − − = + − − 的最小值为 ( ). A． 13 2 B． 37 2 C． 1 2 D．2 4． 设函数 ( ) ln , 0 ( ) 2 2 , 0 x a x x f x ax a x + > =  + + ≤ ，且 ( 1) (1)f f′ ′− = ，则当 0x > 时， ( )f x 的 导函数 ( )f x′ 的极小值为 ( ). A．2 B．3 C．4 D．5 5． 已知函数 ( )y f x= 既是二次函数又是幂函数，函数 ( )y g x= 的图象与函数 xy e= 的图象关于直线 y x= 对称．若直线 2 ( )x t t R= ∈ 与函数 ( )y f x= 的 图象和函数 ( )y g x= 的图象的交点分别为 ,P Q，则当 PQ 达到最小时， t 的 值为 ( ). A．1 B． 1 2 C． 5 2 D． 2 2 得分 评卷人 一、选择题 (每小题 5 分，共 40 分 ) 高二年级试题 (A 卷 ) ( 时间：120 分钟 满分：150 分 ) 6． 某学校高三年级举行一次歌咏比赛，六个班各有 2 名学生参加决赛，现要选出 4 高二年级 A 卷 - 2 - 名优胜者，则 选出的 4 名学生中恰有且只有两个人是同一班级的概率为 ( ). A． 16 33 B． 33 128 C． 32 33 D． 4 11 7． 已知三棱锥 P ABC− 的各顶点都在以 O 为球心的球面上，且 , ,PA PB PC 两两垂直，若 2PA PB PC= = = ，则球心 O 到平面 ABC 的距离为 ( ). A． 2 3 3 B． 3 C．1 D． 3 3 8． 已知 ,AC BD 为圆 2 2: 4O x y+ = 的两条互相垂直的弦，且垂足为 (1, 2)M ，则四边形 ABCD 面积的最大值为 ( ). A．5 B．10 C．15 D．20 9． 在△ ABC 中，角 , ,A B C 所对的边分别是 , ,a b c，且 cos , cos , cosa C b B c A 成等差数列，若 3b = ，则 2 2a c+ 的最大值为 ________. 10