第十三届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十三届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 1．若条件 高二年级 A 卷 - 1 - : 0 2 p x π< < ，条件 q:sinx<x<tanx，则 p 是 q 的（ ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2． 执行右边的程序框图，当 2,n n N ∗≥ ∈ 时， ( )nf x 表示 1( )nf x− 的导函数，若输入函数 1( ) sin cosf x x x= − ，则输 出的函数 ( )nf x 可化为（ ）． 　 A． 2 sin 4 x π +    　　　　　 B． 2 sin 4 x π −    C． 2 sin 4 x π − +    　　 　 D． 2 sin 4 x π − −    3． 已知三棱锥 P-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上， △ ABC 是边长为 1 的正三角形，PC 为球 O 的直径，该三棱锥的体积为 2 6 ，则球 O 的表面积为（ ）． A．4π　　　　 B．8π C．12π　　 　 D．16π 4． 给出定义：设 ( )f x′ 是函数 ( )y f x= 的导函数， ( )f x′′ 是函数 ( )f x′ 的导函 数．若方程 ( ) 0f x′′ = 有实数解 0x ，则称点 ( )0 0, ( )x f x 为函数 ( )y f x= 的“拐 点”．已知函数 ( ) 2 sin 3cosf x x x x= + − 的“拐点”是 ( )0 0, ( )G x f x ，则点 G（ ）． A．在直线 y=-3x 上　　　 　B．在直线 y=3x 上　 C．在直线 y=-2x 上　 　　 　D．在直线 y=2x 上 5． 设 2 2 2ln sin ln cos ln (sin cos )ln ,ln ,ln ln ln ln x y z b b b α α α α = = = ，若 , ,4 2 π πα  ∈    得分 评卷人 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 高二年级试题（A 卷） （时间：120 分钟 满分：150 分） 高二年级 A 卷 - 2 - b ∈ (0,1)，则 x，y，z 的大小关系为（ ）． A． x>y>z 　　　 B．y>x>z C．z>x>y 　　 　 D．x>z>y 6．已知△ ABC 中，sinA+2sinBcosC=0，则 tanA 的最大值是（ ）． A． 4 3 3 　　　　 B． 3 C． 2 3 3 　　 　 D． 3 3 7． 用 C(A) 表 示 非 空 集 合 A 中 的 元 素 个 数， 定 义 ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) C A C B C A C B A B C B C A C A C B − ≥ ∗ =  − < 若 { } { }2 21,2 , ( ) ( 2) 0 , 1A B x x ax x ax A B= = + ⋅ + + = ∗ =且 ，设实数 a 的所有可能取值组成的集合 是 S，则 C(S) 等于（ ）． A．1 　　　　 B．3 C．5 　　 　 D．7 8． 已知曲线 2 21 : 2 1C x y y+ − = ，曲线 2 2 :C xy mx x= − ，已知两曲线有三个交点，则 m 的取值范 围是（ ）． A．[ ]1,1− 　　　　 B． ( ) ( ), 1 1,−∞ − +∞ C．{ }1,1− 　　 　 D． ( )1,1− 9． 已知 ( 1) 2n n na += ，删除数列 {an} 中所有能被 2 整除的数，剩下的数从小到大排成数列 {bn}， 则 21b = __________． 10． 已知正实数 ,x y 满足 ln ln 0x y+ = ，且 2 2( 2 ) 4k x y x y+ ≤ + 恒成立，则 k 的最大值是 _________． 11．若实数