第十二届高二试题（B卷） -“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题（B卷） 1、 选择题(每小题5分，共40分) 1. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2.已知，若，则（ ） A. B. C. D. 3.设等差数列的前项和为，已知则下列结论中正确的是（ ） A. B C. D. 4.已知为R上的可导函数，且均有，则有（ ） A．B． C． D． 5. 已知，方程在［0，1］内有且只有一个根，则在区间内根的个数为 A.2013 B.1008 C.2016 D.1009 6. 若实数满足的约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，则函数在点处取得最大值的概率为 A. B. C. D. 7.设为等比数列，公比为的前项和.记，设为数列的最大项，则等于（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 8.已知圆的圆心为，半径为4，圆，动圆M与圆，圆都相切，若动圆圆心M的轨迹是两个椭圆，且这两个椭圆的离心率分别为，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 2、 填空题(每小题6分，共48分) 9.设，则的展开式中常数项是_________. 10.节日期间，某种鲜花进价是每束2.5元，销售价是每束5元；节后卖不出的鲜花以每束1.5元的价格处理.根据前五年销售情况预测，节日期间这种鲜花的需求量服从如下表所示的分布列: 200 300 400 500 P 0.20 0.35 0.30 0.15 若进这种鲜花500束，则期望利润是_______元. 11.已知实数满足约束条件且不等式恒成立，则实数的最小值是_________. 12.已知平面区域，直线和曲线有两个不同的交点，直线与曲线C围成的平面区域为M，向区域内随机投一点A，点A落在区域M内的概率为，若，则实数的取值范围是_________. 13.已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为O，满足,则该三棱锥外接球的体积为_________. 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_________. 15.已知函数，在区间内任取两个实数，且，不等式恒成立，则实数的取值范围为_________. 16.已知实数满足方程，记的最小值为，则以为圆心，为半径的圆的方程为_________. 三、解答题(17、18题每题14分，19题16分，20题18分，共62分) 17. 正方形的边长为，分别为边的中点，是线段的中点，如图，把正方形沿折起，设. 第17题图 （1）求证：无论取何值，与不可能垂直； （2）设二面角的大小为，当时，求的值． 18.一个口袋中有2个白球和个红球（）,每次从袋中摸出两个球（每次摸球后把这两个球再放回袋中），若摸出的两个球颜色相同的为中奖，否则为不中奖. (1)试用含的代数式表示一次摸球中奖的概率P； (2)若，求三次摸球恰有一次中奖的概率； （3）记三次摸球恰有一次中奖的概率为，当为何值时，取最大值? 19. 设抛物线y2=4mx（m >0）的准线与轴交于F1，焦点为F2；以F1 、F2为焦点，离心率e=的椭圆与抛物线的一个交点为；自F1引直线交抛物线于P、Q两个不同的点，点P关于轴的对称点记为M，设． （1）求抛物线的方程和椭圆的方程； （2）求证：． 20.已知函数(为自然对数的底数). (1)求函数的单调区间； (2)若，的导数在上是增函数，求实数b的最大值； (3)求证：对一切正整数均成立.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题（B卷）参考答案 1.D 提示：使得，则有，而在上的最大值为3，最小值为，由于，在上单调递增，则，于是有，解得. 2.A 提示：由已知得，即，，由，得，同理得. 3.A 提示：构造函数，易知既是奇函数又是增函数，所以得，，，所以得. 4.D 提示：，求导得，在R上递减，即成立. 5.C 提示：由已知函数周期为2，且关于直线对称，所以在区间上有两个根，而在上有1008个周期区间，所以有2016个根. 6.D 提示： 不等式组表示的可行域如图所示，函数在点处取得最大值，因此的斜率，得，掷一颗骰子两次分别得到点数，这样的有序数对有种，其中有30种，则函数在点处取得最大值的概率为. 7