第十一届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第11届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(B卷) 一、选择题(每小题5分，共40分) 1．设，则“”是“”成立的( ) A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．对于函数(其中)，选取的一组值计算和，所得出的正确结果一定不可能是( ) A．4和6 B．3和1 C．2和4 D．1和2 3．已知椭圆的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于线段的中点，则该椭圆的离心率为( ) A． B． C． D． 4．已知抛物线y=x2－1上一定点B(－1，0)和两个动点P、Q，当P在抛物线上运动时，BP⊥PQ，则Q点的横坐标的取值范围是( ) A． B． C． D． 5．△ABC的内角、、的所对的边、、成等比数列，且公比为，则的取值范 围为(   ) A． B． C． D． 6．已知函数的图象分别与直线交于A,B两点，则的最小值为( ) A．2 B． C． D． 7．从1,2,3，…，20这20个数中任取2个不同的数，则这两个数之和为3的倍数的概率为( ) A． B． C． D． 8．设是边延长线上一点，记．方程，若在上方程恰有两解，则实数的取值范围是( ) A． B． C． D． 二、填空题(每小题6分，共48分) 9． 设满足约束条件，若的最小值为，则的值为_________． 10．在区间内任取一个数，抛物线在处的切线的倾斜角为，则的概率为 ． 11．设函数，则时，的展开式中的常数项为 ． 12．已知椭圆与双曲线有相同的 焦点F1，F2，点P是两曲线的一个公共点，e1，e2又分别是两曲线的离心率，若PF1PF2， 则的最小值为 ． 13．在直角坐标平面中，的两个顶点A、B的坐标分别为，，平面内两点同时满足下列条件：(1) ，(2)，(3)，则的顶点的轨迹方程为_________． 14． 对于函数和，设，，若存在、，使得，则称互为“零点关联函数”．若函数与互为“零点关联函数”，则实数的取值范围为_________． 15．设集合，对的任意非空子集，定义为中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则①______；②________． 16． 为美化环境，某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛，花坛分为两部分，中间小圆部分种植草坪，周围的圆环分为等份种植红、黄、蓝三色不同的花． 要求相邻两部分种植不同颜色的花． 如图①，圆环分成的等份分别为，，，有种不同的种植方法． (1)如图②，圆环分成的4等份分别为 ，，，，有 种不同的种植方法； ( ① ② ③ … …… )(2)如图③，圆环分成的等份分别为，，，, 有 种不同的种植方法． 三、解答题(17、18题每题14分，19题16分，20题18分，共62分) 17． 等边三角形的边长为3,点、分别是边、上的点,且满足 (如图1)．将△沿折起到△的位置,使二面角为直二面角,连结 (如图2)． (1)求证:平面； (2)在线段上是否存在点,使直线与平面所成的角为?若存在,求出的长,若不存在,请说明理由． 18．为了解甲、乙两厂产品的质量，从两厂生产的产品中分别随机抽取各10件样品， 测量产品中某种元素的含量(单位：毫克)．如图3是测量数据的茎叶图： 规定：当产品中的此种元素含量不小于18毫克时，该产品为优等品． (1)试用上述样本数据估计甲、乙两厂生产的优等品率； (2)从乙厂抽出的上述10件样品中，随机抽取3件，求抽到的3件样品中优等品数的分布列及其数学期望； (3)从甲厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，也从乙厂的10件样品中有放回的随机抽取3件，求抽到的优等品数甲厂恰比乙厂多2件的概率． 19．设数列满足：①；②所有项；③． 设集合，将集合中的元素的最大值记为．换句话说，是数列中满足不等式的所有项的项数的最大值．我们称数列为数列的伴随数列．例如，数列1,3,5的伴随数列为1,1,2,2,3． (1)请写出数列1,4,7的伴随数列； (2)设，求数列的伴随数列的前之和； (3)若数列的前项和(其中常数)，求数列的伴随数列的前项和． 20．已