第九届高二试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１１９　 一、选择 第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(A卷) 题 １．给出两个命题,p:x ＝x的充要条件是x 为正实数;q:奇函数一定是单调函 数,则下列命题是真命题的为(　　)． A．p∧q　　　 B．p∨q　　　 C．┐p∧q　　　 D．┐p∨q ２．已知点M a,b( ) ab≠０( )是圆C:x２＋y２＝r２内一点,直线l是以M 为中点的弦 所在的直线,直线m 的方程是ax＋by ＝r２,那么(　　)． A．l∥m 且m 与圆C 相切 　　　　　　B．l⊥m 且m 与圆C 相切 　 C．l∥m 且m 与圆C 相离 　　　　　　D．l⊥m 且m 与圆C 相离 ３．我国发射的“神州八号”宇宙飞船的运行轨道是以地球的中心F２ 为一个焦点的 椭圆,近地点A距地面为m 千米,远地点B距地面为n千米,地球半径为R千米, 则飞船运行轨道的短轴长为(　　)． A．２ m＋R( ) n＋R( ) 千米 　　　　　　B． m＋R( ) n＋R( ) 千米 C．mn千米 　　　　　　　　　　　　D．２mn千米 ４．若点P 是曲线y ＝x２－lnx上任意一点,则点P 到直线y ＝x－２的最小距离 为(　　)． A．２　　　　　 B．３　　　　　 C．２　　　　 D．５ ５．在区间 －１,１[ ]上随机产生一个数x,则sinπ４x 的值介于－１２ 与 ２ ２ 之间的概率 为(　　)． A．１４　　　　 B． １ ３　　 C． ２ ３　　 D． ５ ６ ６．不等式 x－２ ＋ y－１ ≤２＋cost对任意t均成立,则 x－２ ＋ y－１ ≤２＋ cost表示的平面区域的面积为(　　)． A．２　　　　 B．２π　　 C．２＋π　　　　D．３ ７．设 ３b是１－a和１＋a的等比中项,则a＋３b的最大值为(　　)． A．１　　　　 B．２　 C．３　　　　 D．４ ８．设点 M、N 是球O 的半径OP 上的两点,且NP ＝MN ＝OM,分别过点N,M,O 作垂直于OP 的平面,截球面得三个圆,则这三个圆的面积之比为(　　)． !"#$! １２０　 A．３∶５∶６　　　　B．３∶６∶８　　　 C．５∶７∶９　　　　D．５∶８∶９ 二、填空题 ９．一支足球队每场比赛获胜(得３分)的概率为a,与对手踢平(得１分)的概率为 b,负于对手(得０分)的概率为c,其中a,b,c∈ (０,１),已知该足球队进行一场比 赛得分的均值是１,则１a＋ １ ３b 的最小值为 ． １０．已知点P１ x１,y１( )在圆x２＋y２ ＝１上,点P２ x２,y２( ) 在曲线xy ＝１上,则 x１－x２( )２＋ y１－y２( )２ 的最小值为 ． １１．已知棱长为５ ６的正四面体内一点P到其他三个面的距离分别为１,２,３,则点 P 到第四个面的距离是 ． １２．有一组数据共有１００个数,其中有２０个数在中位数和平均数之间,如果这组数 据的中位数和平均数都不在这１００个数中,那么这组数据中小于平均数的数据 占这１００个数据的百分比是 ． １３．已知点P 是抛物线y２ ＝２x上的动点,点P到准线的距离为d,且点P在y 轴 上的射影是 M,点A ７２ ,４æ è ç ö ø ÷,则 PA ＋ PM 的最小值是 ． １４．已 知 在 ３ x－ １ ２ ３ x æ è ç ö ø ÷ n 的 展 开 式 中,第 ６ 项 为 常 数 项,则 x２ 项 的 系 数 为 ． １５．若函数f(x)＝x＋asinx在R上递增,则实数a的取值范围为 ． １６．已知I＝ １,２,􀆺,n{ },A∪B＝I,则不同的有序集合对(A,B)有 种． 三、解答题 １７．中国篮球职业联赛某赛季的总冠军在甲、乙两队之间角逐,采用七局四胜制, 即若有一队先胜四场,则此队获胜,比赛就此结束．因两队实力相当,每场比赛 获胜的可能性相等,据以往资料统计,第一场比赛组织者可获门票收入３０万 元,以后每场比赛门票收入比上一场增加１０万元,当两队决出胜负后,问: (１)组织者在此次决赛中要获得门票收入１８０万元,需比赛多少场? (２)组织者在此次决赛中获得门票收入不少于３３０万元的概率是多少? １２１　 １８．在直线l:x－y＋９＝０上任取一点P,过点P以椭圆x ２ １２＋ y２ ３ ＝１ 的焦点为焦 点作椭圆,当点P 在何处时,所作椭圆的长轴最短?并求出长轴最短时的椭圆 方程． １９．有一个顶点朝下的圆锥形容器,它的轴截面是一个正三角形,在容器中放一个 半径为r的铁球,并注入水,将球淹没到使水面和球面正好相切,然后将球取 出,求这时容器中水的深度． ２０．设 M 是由满足下列条件的函数f x( )构成的集合:① 方程f x( )－x＝０有实 根;② 函数的导数f′x( )满足０＜f′x( )＜１． (１)