第八届高二试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１１５　 一、选择 第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(B卷) 题 １．已知命题p:∃x∈ (－∞,０),２x ＜３x;命题q:∀x∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,tanx＞sinx,则下 列命题为真命题的是(　　)． A．p∧q B．p∨ (┐q) C．(┐p)∧q D．p∧ (┐q) ２．已知点P 是双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的右支上一点,点F１、F２ 为双曲 线的左、右焦点,若(OP→＋OF２→)􀅰F２P→ ＝０(点O为坐标原点),且 △PF１F２ 的面 积为２ac(c为双曲线的半焦距),则双曲线的离心率为(　　)． A．２＋１ B．２＋１２ C．３＋１ D． ３＋１ ２ ３．满足千位、百位、十位上的数字成递增等差数列的没有重复数字的五位数共有 (　　)． A．７２０个 B．６８４个 C．６４８个 D．７４４个 ４．在一个圆周上任取两点P、Q,则使得弦长|PQ|大于半径的概率为(　　)． A．２３ B． ３ ４ C． １ ２ D． １ ３ ５．设(x２＋２x－２)６ ＝a０＋a１(x＋１)＋a２(x＋１)２＋􀆺＋a１２(x＋１)１２,则a０＋ a１＋２a２＋３a３＋􀆺＋１１a１１＋１２a１２ 的值为(　　)． A．－３８４ B．７２９ C．３４５ D．３８４ ６．已知两点 M １,５４ æ è ç ö ø ÷,N －４,－５４ æ è ç ö ø ÷,给出下列曲线方程: ①４x＋２y－１＝０;②x２＋y２ ＝３;③x ２ ２ ＋y ２ ＝１;④x ２ ２ －y ２ ＝１, 在曲线上存在点P 满足|MP|＝|NP|的所有曲线方程是(　　)． A．①③ B．②④ C．①②③ D．②③④ ７．x,y,z∈R且满足２x２＋２y２＋xy＋yz＋xz＝４,则z的最大值为(　　)． A．５ B．５ C．４ D．２ ８．已知x＋２y＝６,则１２ x ２＋４＋ y２＋９的最小值是(　　)． !"#$! １１６　 A．１＋３ ２ B．１０＋３ C．２＋ １３ D．５ 二、填空题 (第９题图) ９．如图所示的程序框图的运算,若输出k＝２,则输入x的取值范 围是 ． 　　　(第１０题图) １０．如图,半圆的半径OA ＝３,点O 为圆心, 点C 为半圆上不同于A、B 的任意一点, 若点P 为半径OC 上的动点,则(PA→ ＋ PB→)􀅰PC→ 的最小值为 ． １１．观察下列等式: ①cos２α＝２cos２α－１; ②cos４α＝８cos４α－８cos２α＋１; ③cos６α＝３２cos６α－４８cos４α＋１８cos２α－１; ④cos８α＝１２８cos８α－２５６cos６α＋１６０cos４α－３２cos２α＋１; ⑤cos１０α ＝ mcos１０α－１２８０cos８α＋１１２０cos６α＋ncos４α＋ pcos２α－１． 可以推测m－n＋p＝ ． １２．随机变量ξ~B ２０, ２ ３ æ è ç ö ø ÷,当P(ξ＝k)取最大值时,k＝ ． １３．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１的左、右焦点分别为点F１、F２,点O为双曲线的中心,点 P是双曲线右支上的点,△PF１F２的内切圆的圆心为点I,且 ☉I与x轴相切于 点A,过点F２ 作直线PI的垂线,垂足为点B,若e为双曲线的离心率,则|OA |、|OB|满足的关系式为 ． １４．已知总体的各个体的值从小到大依次为２,３,３,７,a,b,１２,１３．７,１８．３,２０,且总 体的 中 位 数 为 １０．５,若 要 使 该 总 体 的 方 差 最 小,则 a,b 的 取 值 分 别 是 ． １５．Rt△ABC 中,∠BAC ＝９０°,作AD ⊥BC,点D 为垂足,BD 为AB 在BC 上的 射影,CD 为AC 在BC 上的射影,则有AB２＋AC２ ＝BC２,AC２ ＝CD􀅰BC 成 立．直角四面体P－ABC(即PA ⊥PB,PB ⊥PC,PC ⊥PA)中,点O为点P 在平面ABC 内的射影,△PAB、△PBC、△PAC 的面积分别为S１,S２,S３,且 △PAB、△PBC、△PAC 在 平 面 ABC 内 的 射 影 分 别 为 △AOB、△BOC、 △AOC,其面积分别为S′１,S′２,S′３,△ABC的面积记为S,类比直角三角形中的 射影结论,在直角四面体P－ABC 中可得到的正确结论为 (写出一个正确结论即可)． １１７　 １６．已知函数f(x)＝lnx＋２x,g(x)＝a(x２＋x),若f(x)≤g(x)恒成立,则实 数a的取值范围是 ． 三、解答题 １７．已知椭圆C的焦点在x轴上,它的一个顶点恰好是抛物线y＝ １４x ２ 的焦点,离 心率e＝２ ５５ ． (１)求椭圆的标准方程; (２)过椭圆C的右焦点F 作直线