第六届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

９８　 一、选择 第六届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) 题 １．已知|a|＝２|b|≠０,且关于x的方程x２＋|a|x＋a􀅰b＝０有实根,则a与 b的夹角的取值范围是(　　)． A．０,π６[ ] B． π ３ ,π[ ] C．π３, ２π ３[ ] D． π ６ ,π[ ] ２．函数y＝log２x＋logx(２x)的值域是(　　)． A．(－∞,－１] B．[３,＋∞) C．[－１,３] D．(－∞,－１]∪ [３,＋∞) ３．在直角 △ABC中,∠C是直角,斜边为c,两直角边为a、b,则 ca＋b 的取值范围为 (　　)． A．１ ２ ,２ ２ é ë êê ö ø ÷ B． ２ ２ ,１ é ë êê ö ø ÷ C． ３ ３ ,２ ２ æ è ç ù û úú D． ２４ ,３ ３ æ è ç ù û úú ４．已知点F１、F２ 是双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０)的两焦点,以线段F１F２ 为边作 正三角形 MF１F２,若边 MF１ 的中点在双曲线上,则双曲线的离心率为(　　)． A．４＋２ ３ B．３－１ C．３＋１２ D．３＋１ ５．正三棱柱的两个侧面的异面对角线互相垂直的充要条件是它的底面边长与侧 棱长的比为(　　)． A．３∶１ B．１∶ ３ C．２∶１ D．１∶ ２ ６．若钝角三角形三个内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长的比值为m, 则m 的取值范围是(　　)． A．(１,２) B．(２,＋∞) C．[３,＋∞) D．(３,＋∞) 二、填空题 ７．已知１m＋ ２ n ＝１ (m ＞０,n＞０),则当mn取得最小值时椭圆x ２ m２ ＋y ２ n２ ＝１的离 心率是 ． ８．一条直线与一个正方体的１２条棱所在直线所成角都是θ,则sinθ＝ ． ９．已知变 量 x,y 满 足 ２x－y≤０, x－３y＋５≥０, x≥０． ì î í ï ï ïï 则z ＝log２(x－y＋５)的 最 大 值 为 ９９　 ． １０．若直线ax＋by＝１与圆x２＋y２ ＝１相切,则实数ab的取值范围为 ． １１．设P(x,y)是曲线 x ２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 上的点,F１(－４,０),F２(４,０),则|PF１|＋ |PF２|的最大值为 ． １２．线段AB 上的一点C,直线AB 外一点P,满足|PA→|－|PB→|＝２,|PA→－PB→| ＝ ２ ５, PA →􀅰PC→ |PA→| ＝ PB →􀅰PC→ |PB→| ,I 为 PC 上 一 点, 且 BI→ ＝ BA→ ＋ λ AC → |AC→| ＋ AP → |AP→| æ è ç ö ø ÷(λ＞０),则BI →􀅰BA→ |BA→| 的值为 ． 三、解答题 １３．半径为１的圆内接三角形面积是１４ ,三角形的三边是a、b、c．求证:１a＋ １ b＋ １ c ≥ a＋ b＋ c． １４．关于x的不等式组 x２－x－２＞０, ２x２＋(２k＋５)x＋５k＜０{ 的整数解的集合为{－２},求实 数k的取值范围． !"#$! １００　 １５．平面四边形ABCD 中,AC ＝DA ＝DC,AB ＝BC ＝２,∠ABC ＝９０°,将此 ． ． 四 边形沿对角线AC 折成二面角D－AC－B,使得DB ＝DA ＝DC． (１)求二面角D－AC－B的大小; (２)设DB 中点为E,试求EC 与平面DAC 所成的角． １６．设点F ０,３２ æ è ç ö ø ÷,动圆P经过点F,且和直线y＝－３２ 相切,记动圆圆心P的轨迹 为曲线C． (１)求曲线C的方程; (２)过点F作互相垂直的直线l１、l２,分别交曲线C于A、B两点和C、D两点,求 四边形ACBD 面积的最小值． ２０３　 ∴２x２ －２mx＋４＝０,即x２－mx＋２＝０． 因为点F是唯一的,所以 Δ＝m２ －８＝０, ∴m ＝２ ２,x＝ ２． 由于EO ⊥FD,EF ⊥FD,所以FD ⊥ 面 OEF,∴FD ⊥OF,∴∠EFO 是平面DEF 与平面ABCD 的二面角的平面角,于是有: sin∠EFO ＝OEEF ＝ １ ２ , ∴n＝ １２ x ２ －２mx＋m２ ＋n２ ＋１ ＝ １２ ２－８＋８＋n ２ ＋１, ∴４n２ ＝n２ ＋３,　n＝１, 因此当m ＝２ ２,n＝１时,平面DEF 与平 面ABCD 所成的角为３０°． １６．解:令n＝２有 x１ ＋x２ ＝０, |x１|＋|x２|＝１．{ 则 x１ ＝ １２ , x２ ＝－ １２ ì î í ï ï ïï 或 x１ ＝－ １２ , x２ ＝ １２． ì î í ï ï ïï 由 ∑ n i＝１ aixi ≤m(a１ －an), ① 得:１ ２ (a１ －a２)≤m(a１ －a２), ∵a１ ＞a２,　∴m