第五届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

９２　 一、选择 第五届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) 题 １．向量OA→＝ (k,１５),OB→＝ (６,８),OC→＝ (－k,１０)．且A、B、C三点共线,则实数k ＝ (　　)． A．－６ B．－５ C．－１０３ D． ８ ３ ２．m,n∈R＋,则m＋１n ,n＋１m 两数中(　　)． A．都不大于２ B．都不小于２ C．至少有一个不小于２ D．至少有一个不大于２ ３．函数f(x)＝ x ２＋６ x２＋５ 的最小值是(　　)． A．２ B．６ ５ C．６５ ５ D．５ ４．设实数 x、y 满足y ＞ x ＞ ０,且tanx ＝ －x,tany ＝－y,则sin (x－y) x－y － sin(x＋y) x＋y ＋ ２x２cosx(xcosx－sinx) ２x＋sin２x 的值为(　　)． A．０ B．２ C．－１ D．－１２ ５．从正方体的１２条棱和１２条面对角线中选出n条,使得其中任意两条线段所在的 直线都是异面直线,则n的最大值为(　　)． A．３ B．４ C．５ D．６ ６．设椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的一个焦点为F,点P在y 轴上,直线PF 交椭 圆于点 M、N．PM→ ＝λ１MF→,PN→ ＝λ２NF→．则实数λ１＋λ２ ＝ (　　)． A．－２b ２ a２ B．－b ２ a２ C．－２a ２ b２ D．－a ２ b２ 二、填空题 ７．不等式(k－５)x＜ ６x－x２ 的解集是{x|０＜x＜３},则k＝ ． ８．用一张正方形的纸将一个棱长为n的正方体完全包住,不能将纸撕开,则这张纸 的面积最小是 ． ９３　 ９．过双曲线x２－y ２ ４ ＝１ 的右焦点作直线交双曲线于A、B两点,若使得|AB|＝ λ的直线恰有３条,则实数λ＝ ． １０．设x２＋y２＋xy－２x＋y－１１＝０,则x２＋y２＋xy 的最大值与最小值的和为 ． １１．方程６x２－５xy＋y２－６x＋y－１２＝０的图象与x轴围成的图形的面积是 ． １２．不等式|mx－４|≤n中x 的取值范围是 －１３ ,７ ３[ ],则m＋n＝ ． 三、解答题 １３．如图是一个直三棱柱(以A１B１C１ 为底面)被一平面所截得的几何体,截面为 ABC．已知A１B１ ＝B１C１ ＝１,∠A１B１C１ ＝９０°,AA１ ＝６,BB１ ＝４,CC１ ＝５． (１)设点O为AB 的中点,证明:OC ∥ 平面A１B１C１; (２)求二面角B－AC－A１ 的大小． １４．一个圆被x轴分成两段,弧长之比为１∶３,被y轴截得弦长为４,求圆心到直线 x－３y＝０距离最小时圆的方程． !"#$! ９４　 １５．已知双曲线x ２ a２ －y ２ b２ ＝２(a,b∈R)的半焦距为c,且b２ ＝ac．点P、Q是双曲线 上任意两点,点 M 为PQ 的中点．当PQ 与OM 的斜率KPQ、KOM 都存在时, 求KPQ􀅰KOM 的值． １６．将１~２０这２０个正整数分成A、B两组,使得A组所有数的和等于N,而B组 所有数的乘积也等于N．求N 所有可能的取值． １９８　 设an ＝bn＋A(－１)nn＋B(－１)n＋C,其中 A、B、C为常数． 代 入 ① 知:bn＋１ ＋ A(－１)n＋１(n ＋１)＋ B(－１)n＋１ ＋C＝２bn ＋２A(－１)nn＋ ２B(－１)n ＋２C＋(－１)nn＋１ ⇒bn＋１ ＝２bn ＋(３A＋１)(－１)nn＋ (３B＋A)(－１)n ＋(C＋１),② 令 ３A＋１＝０, ３B＋A ＝０, C＋１＝０． { ⇒ A ＝－ １３ , B＝ １９ , C＝－１． ì î í ï ï ï ï 将A、B、C的值代入 ②⇒bn＋１ ＝２bn, an ＝bn － １３ 􀅰(－１)n􀅰n＋ １９ (－１)n －１, bn ＝an ＋ １３ 􀅰(－１)n􀅰n－ １９ (－１)n ＋１, b１ ＝a１ ＋ １３ 􀅰(－１)１􀅰１－ １９ 􀅰(－１)１＋１ ＝１６９ , ∴bn ＝２ n＋３ ９ , ∴an ＝２ n＋３ ９ － １ ３ 􀅰(－１)n􀅰n＋１９ (－１)n－１． 高二试题(初赛 第五届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 ) 一、选择题 １．C　 提示:AB→＝(６－k,－７),BC→＝(－k－６, ２),２(６－k)＝－７􀅰(－k－６),k＝－１０３． ２．C　 提示:m＋ １n ＋n＋ １ m ＝ m＋ １ m( )＋ n＋ １n( ) ≥４． ３．C　 提示:f(x)＝ x２ ＋５＋ １ x２ ＋５ 是单 调增函数,且 x２ ＋５≥ ５． ４．B　 提示:sin (x－y) x－y ＝ sin(x－y) tany－tanx＝ －cosxcosy,sin (x＋y) x＋y ＝－ cosxcosy．