第三届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

８３　 一、选择题 １􀆰设函数f(x)＝２x＋ax (a＞０),则下列结论中正确的是(　　) 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) ． A．f(x)在 ０,a２ æ è ç ù û úú递增 B．f(x)在 a２ ,＋∞ é ë êê ö ø ÷递减 C．f(x)的最小值是２ ２a D．f(x)不存在反函数 ２􀆰如果数列{an}是公差不为 ０ 的等差数列,且an ≥ ０,又定义bn ＝ an ＋ a２００８－n(１≤n≤２００７),则{bn}的最大项是(　　)． A．b１００３ B．b１００４ C．b１００５ D．不确定 ３􀆰点E、F分别是椭圆x ２ １６＋ y２ ８ ＝１ 的左、右焦点,l是准线,点P ∈l,∠EPF 最大 为(　　)． A．π６ B． π ４ C． π ３ D． π ２ ４􀆰在正方体的８个顶点,１２条棱的中点,６个面的中心及正方体的中心共２７个点 中,共线的三点组的个数是(　　)． A．５７个 B．４９个 C．４３个 D．３７个 ５􀆰 设AB 是椭圆x ２ a２ ＋y ２ b２ ＝１(a＞b＞０)的长轴,若把线段AB 分成２００８等分,过 每个分点作AB 的垂线,交椭圆的上半部分于点P１,P２,􀆺,P２００７,F１ 为椭圆的 右焦点,则|F１A|＋|F１P１|＋|F１P２|＋ 􀆺 ＋|F１P２００７|＋|F１B|的值是 (　　)． A．２００６a B．２００７a C．２００９a D．不确定 ６􀆰若方程 ４x２－y２－１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ４９ ＋ x２＋y２ ３ ＝１ 表示一条非圆的二次曲线,则它表示 (　　)． A．椭圆 B．双曲线 C．焦点为(７,０)的抛物线 D．焦点为(３,０)的抛物线 二、填空题 ７􀆰方程tanx－１tanx＋１＝４tan２x 的解集是　　　　． !"#$! ８４　 ８􀆰实数x、y满足x ２ １２＋ y２ ４ ＝１ ,则x２＋y２－４x＋３的最大值是　　　　． ９􀆰已知空间四边形ABCD 的对角线AC＝１０cm,BD ＝６cm,点M、N分别是AB、 CD 的中点,若异面直线AC、BD 所成的角为６０°,则MN 的长等于　　　　cm． １０􀆰 已知x、y、z∈R,且x＋y＋z＝１．如果x、y、z中没有一个数大于另一个数的 ２倍,那么乘积xyz的最小值为　　　　． １１􀆰曲线x２＋xy－y２ ＝１上的点到坐标原点的距离的最小值等于　　　　． １２􀆰三棱锥S－ABC 中有四条棱长为 ２,另外两条棱长为 ３和２,则较长的两条棱 所成的夹角为　　　　． 三、解答题 １３􀆰已知二次函数y＝f(x)的图象过原点,且１≤f(－１)≤４,４≤f(１)≤９． 求f(－３)的取值范围． １４􀆰已知椭圆的两个焦点为F１(－３,０),F２(３,０),直线y＝x－１是它的一条法线 (过切点且与切线垂直的直线),试求该法线被椭圆截得的线段(法线弦)的长 度． ８５　 １５􀆰 已知方程１７x２－１６xy＋４y２－３４x＋１６y＋１３＝０在xOy平面上表示一椭圆, 试求它的对称中心及对称轴． １６􀆰已知０≤x、y、z≤１,且|x－y|、|y－z|、|z－x|均不大于１２ ,试求S＝ x＋y＋z－xy－yz－xz的最大值和最小值． !"#$! １９０　 当且仅当x２ ＝y２ ＝４－x２ －y２, 即x＝y＝２ ３３ 时,等号成立． ② 若棱长为x,y的棱为相邻的两棱,如图２． 图２ 设PA ＝AB ＝BC ＝CA ＝１, PB ＝x,PC ＝y, 则VPＧABC ≤ １３S△ABC 􀅰PA ＝ １３ × ３ ４ ×１ ＝ ３１２ , 当且仅当PA ⊥ 面ABC 时等号成立,此时, PB ＝PC ＝ ２．又 ３１２＞ ２ ３ ２７ , 故四面体体积的最大值为 ３ １２． 高二试题(决赛) 一、选择题 １􀆰D　 提示:当x＞０时,f(x)≥２􀅰 ２x􀅰a 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 x ＝２ ２a．同时有f(x)在(０, a２ ]上递减, [ a ２ ,＋∞)上递增．故 A、B、C均不正确． f(x)在其定义域内非单调函数,不存在反 函数． ２􀆰B　 提示:∵an ＞０, ∴bn ＝ an ＋ a２００８－n ≤ ２(an ＋a２００８－n) ＝ ２(a１００４ ＋a１００４) ＝２ a１００４ ＝b１００４． ３􀆰A　 提示:设l与x轴交于点A,|PA|＝a, 则tan∠EPF ＝tan(∠EPA－∠FPA) ＝ tan∠EPA－tan∠FPA１＋tan∠EPA􀅰tan∠FPA ＝ ６ ２ a － ２ ２ a １＋２４a２ ＝ ４ ２xa２ ＋２４＝ ４ ２ a＋２４a ≤ ４ ２ ２ ２４ ＝ ３３ ,∴∠EPF ≤