第二届高二试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

７７　 一、选择 第二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(决赛) 题 １􀆰已知向量a＝ (２cosα,２sinα),b＝ (３cosβ,３sinβ),a与b 的夹角为６０°,则直线 xcosα－ysinα＋１２＝０ 与圆(x－cosβ)２＋(y＋sinβ)２＝ １ ２ 的位置关系是(　　)． A．相切 B．相交 C．相离 D．随α,β的值而定 ２􀆰若椭圆x ２ ４＋ y２ ３ ＝１ 内有一点P(１,－１),F为右焦点,椭圆上有一点M,使|MP| ＋２|MF|值最小,则点 M 为(　　)． A．２ ６ ３ ,－１ æ è ç ö ø ÷ B．１,±３２ æ è ç ö ø ÷ C．１,－３２ æ è ç ö ø ÷ D．±２ ６３ ,－１ æ è ç ö ø ÷ ３􀆰设a是整数,且 a ２－a＋３ a３－３a２＋１ 也是整数,则这样的a有(　　)． A．２个 B．３个 C．４个 D．５个 ４􀆰若a＞b＞c,n∈N, １a－b＋ １ b－c≥ n a－c 恒成立,则n的最大值为(　　)． A．２ B．３ C．４ D．５ ５􀆰从正方体的１２条棱和１２条面对角线中选出n条,使得其中任意两条线段所在的 直线都是异面直线,则n的最大值为(　　)． A．３ B．４ C．５ D．６ 二、填空题 ６􀆰已知两点 M １,５４ æ è ç ö ø ÷,N －４,－５４ æ è ç ö ø ÷,下列曲线:(１)４x＋２y－１＝０;(２)x２＋y２ ＝３;(３)x２＋２y２＝２;(４)x２－２y２＝２,存在点P满足|MP|＝|NP|的所有 曲线方程有 ． ７􀆰 设平面内的两个向量a与b互相垂直,且|a|＝２,|b|＝１,又k与t(t≥０)是 两个不同为零的实数．若向量x＝a＋(３－t)b与y＝－ka＋tb互相垂直,则k 的最大值为 ． ８􀆰已知P ５ ２ ,－３ ３２ æ è ç ö ø ÷是椭圆x ２ ２５＋ y２ ９ ＝１ 上的一点,点F１、F２分别是椭圆的左,右 焦点,点Q 在F１P 上,且|PQ|＝|PF２|,那么点Q分有向线段F１P → 所成的比 !"#$! ７８　 是 ． ９􀆰在正方体AC１ 中,点E、F分别是AA１、AB 上的点,AF ＝２,AB ＝９,A１E＝３, 则点C１ 到EF 的距离为 ． １０􀆰双曲线C的离心率为e,左右焦点为F１、F２．若在C 的左支上存在一点P,使 |PF１|是点P到左准线的距离d１ 与|PF２|的等比中项,则e的取值范围是 ． 三、解答题 １１􀆰 如图,四边形OBCD 是平行四边形,|OB|＝１,|OD|＝２,∠BOD ＝６０°,动 直线x＝t由y 轴起向右平移,分别交 ▱OBCD 两边于不同两点M、N． (１)求点D和点C的坐标,写出用t表示 △OMN 的面积S的函数解析式S(t); (２)当t为何值时,S(t)有最大值?并求出此时的最大值． １２􀆰如图所示,某农场在点P 处有一堆化肥,今要把这堆化肥沿道路PA 或PB 送 到庄稼地ABCD 中去．已知PA ＝１００,PB ＝１５０,∠APB ＝６０°,能否在庄稼 地ABCD 中确定一条界限,使得到位于界限左侧的点,沿道路PA 走较近;而 到位于界限右侧的点沿道路PB 走较近?如果能,请说出这条界限是一条什么 曲线,并求出其方程;如果不能,请说明理由． ７９　 １３􀆰如图,过原点O作抛物线y２＝２px(p＞０)的两条互相垂直的弦OA、OB,再作 ∠AOB 的平分线,交AB 于点C．求C点的轨迹方程． １４􀆰试求最小的正整数n,使得对于任意n个连续正整数中必有一数,其各位数字 之和是７的倍数． !"#$! １８５　 ∴ x０ ＝４ (k＋１) k２ ,　　　　　　　　 ① y０ ＝ (kx１ －２)＋(kx２ －２)＝ ４k．② ì î í ï ï ïï 由 ①②⇒y２０＋４y０ ＝４x０． 由(∗)中Δ＝１６(k＋１)２－１６k２ ＞０, 得k＞－ １２ ,∴y０ ＞０或y０ ＜－８． ∴ 点R的轨迹方程是 y２＋４y＝４x(y＜－８或y＞０)． (２)平行四边形OQRP 要成为正方形,需增加 两个条件,所以有: ① 由OP ⊥OQ,得x１x２＋y１y２ ＝０, ∴x１x２＋(kx１－２)(kx２－２)＝０, 即(１＋k２)x１x２－２k(x１＋x２)＋４＝０, 由韦达定理得 (１＋k２)􀅰４k２ －２k ４(k＋１) k２ ＋４＝０ , 解得k＝ １２． ② 由OR ⊥PQ 得kOR ＝－２, ∴y０x０ ＝－２ ,∴y０ ＝－６, 与y０ ＜－８或y０ ＞０矛盾 ∴ 不存在这样的直线． １３．解:(１)证明:设双曲线半焦距为c,显然 B(a,０),F(c,０)． ∴A在x正半轴且 OA→ ,OB→ ,O