第二届高二试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

７４　 一、选择 第二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高二试题(初赛) 题 １．若关于x的方程９x＋(４＋a)３x＋４＝０有解,则实数a的取值范围是(　　)． A．(－∞,－８]∪ [０,＋∞) B．(－∞,－４] C．[－８,４) D．(－∞,－８] ２．已知两点A(３,０)、B(０,４),动点P(x,y)在线段AB 上运动,则xy 的最大值为 (　　)． A．１２５ B． １４４ ４９ C．３ D．４ ３．直线y＝ ３３x 绕原点逆时针方向旋转３０°后,所得直线与圆(x－２)２＋y２＝３的 位置关系为(　　)． A．直线过圆心 B．直线与圆相交,但不过圆心 C．直线与圆相切 D．直线与圆没有公共点 ４．和y轴相切且和半圆x２＋y２ ＝４(０≤x≤２)内切的动圆圆心的轨迹方程是 (　　)． A．y２ ＝－４(x－１)(０＜x≤１) B．y２ ＝４(x＋１)(０＜x≤１) C．y２ ＝４(x－１)(０＜x≤１) D．y２ ＝－２(x－１)(０＜x≤１) ５．已知点A(０,－１)为椭圆x ２ ３＋y ２＝１的短轴的一个端点,M、N 为椭圆上相异两 点,若总存在以 MN 为底边的等腰 △AMN,则直线 MN 的斜率k 的范围是 (　　)． A．(－１,１) B．[－１,１] C．(－１,０] D．[０,１] 二、填空题 ６．在直角坐标系xOy 上有两点M１(３,２y)、M２(２x,１),给定三个条件:①OM１ ⊥ OM２,② ３x＋y＝０,③ y ３x ＝－１．请从上述三个条件中选出两个分别填在下列 空白 处 (只 填 代 号),使 其 构 成 一 个 真 命 题:当 且 仅 当 ⇒ ． ７．射线OA 的方程是y＝ ３x(x≥０),射线OB 的方程是y＝－ ３x(x≥０),长为 ２ ３的动线段 MN 的端点M 在OA 上移动,端点N 在OB 上移动,则 MN 的中 ７５　 点P(x,y)的轨迹方程为 ． ８．在 Rt△ABC 中,已知AC ＝BC ＝a,以A为中点作长为２a的线段PQ,当BP →􀅰 CQ→ 的值最大时,PQ→ 与BC→ 的夹角θ＝ ． ９．设Sn ＝ １n＋１＋ １ n＋２＋ １ n＋３＋ 􀆺＋ １２n (其中n∈ N∗),则Sn 的取值范围是 ． １０．若a,b,x,y∈R,则 x＋y＞a＋b, (x－a)(y－b)＞０{ 是 x＞a, y＞b{ 成立的 条件． 三、解答题 １１．双曲线 M 的中心在原点,并以椭圆x ２ ２５＋ y２ １３＝１ 的焦点为焦点,以抛物线y２ ＝ －２ ３x的准线为右准线． (１)求双曲线 M 的方程． (２)设直线l:y＝kx＋３与双曲线M 相交于A、B两点,若A、B两点关于直线 y＝mx＋６对称,求k的值． １２．已知抛物线C:y２＝４x,过点A(０,－２)的直线l交抛物线于P、Q两点,以OP、 OQ 为邻边作平行四边形OPRQ． (１)求点R的轨迹方程． (２)是否存在l,使四边形OPRQ 为正方形?证明你的结论． !"#$! ７６　 １３．已知双曲线C:x ２ a２ －y ２ b２ ＝１(a＞０,b＞０),B是右顶点,F是右焦点,点A 在x 轴的正半轴上,且|OA → |、|OB → |和|OF → |成等比数列,过点F作双曲线C 在 第一、三象限的渐近线的垂线l,垂足为点P． (１)求证:PA→􀅰OP→ ＝PA →􀅰FP→． (２)若l与双曲线C的左右两支分别相交于点D、E,求双曲线的离心率e的取值 范围． １４．OP０、OQ０ 是已知圆x２＋y２ ＝１的两条互相垂直的半径,延长OP０ 至点P,延 长OQ０ 至点Q,使得 OP → ＝a OP０ → ,OQ→ ＝bOQ０ → (a＞b＞０)． (１)若直线OP 和OQ 的斜率都存在,试确定直线OP 和OQ 的斜率的乘积是否 为一个常数? (２)试确定PQ→２＋２OP →􀅰OQ→ 是否为一个常数? (３)设OM→ ＝ １２ (OP→＋OQ →),试确定是否存在两个定点A１、A２,使A１M,A２M 的 斜率的乘积为一个常数? １８３　 即y＝k ２ －１ ４k x－ １ ２． ① 当k＝１时,直线MN 的方程为y＝－１２ ,此 时Q ０,－ １２( ) ; 当k＞０且k≠１时,直线PQ 的方程为 y＝－ ４kk２ －１ x＋１． ② 由 ①② 消去k,得Q的轨迹方程为 x２ ＋y２ － １２y－ １ ２ ＝０ , 即x２ ＋ y－ １４( ) ２ ＝ ９１６． 综上,点Q的轨迹方程为 x２ ＋ y－ １４( ) ２ ＝ ９１６ ((x,y)≠ (０,１))． １５．解:f(０)≤１,f(－１)≤１,f(１)≤１, 有|c|≤１,|a－b＋c|≤１,|a＋b＋c|≤１． ∴|a＋b|＝|a＋b＋c－c| ≤|a＋