第十三届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十三届“ ”全国数学大赛 题号 一 二 三 总分 17 18 19 20 得分 1． 已知集合 M，若 a ∈ M 高一年级 B 卷 - 1 - ，则 1 1 a M a + ∈ − , 则称 a 为集合 M 的 “ 亮点 ”，若 4 1 4 M x Z x   = ∈ ≥  −  ，则集合 M 中的 “ 亮点 ” 共有（ ）． A．2 个 B．3 个 C．1 个 D．0 个 2． 已知函数 ( )g x 是定义在区间 2[ 3 , ]m m m− − − 上的偶函数（m>0），且 ( ) ( )( ) ( ) 2 1, 0 | | , 0 x x f x f x m x  + <=  − ≥ ，则 f(2017)=( )． A．1 B．5 C．9 D．10 3． 设 函 数 1( ) log , 2 1 xf x x = + − 定 义 1 2 1( ) ( ) ( )n nS f f f n n n − = + + + ， 其 中， *, 2n N n∈ ≥ ，则 nS = ( )． A. ( 1) 2 n n − B. 2 ( 1) log ( 1) 2 n n− − − C. 1 2 n − D. 2 ( 1) log ( 1) 2 n n− + − 4． 已知函数 ( ) ( 3)sin cos ( 3)cos sin 4 4 f x a x a xπ π= − + + ，将 f(x) 的图象向右平 移 4 π 个单位得到函数 g(x) 的图象，若对任意 x ∈ R，都有 ( ) ( )3 g x g π≤ 成立， 则实数 a 的值为（ ）． A． 2 2 B． 3 2 C．2 D．3 5．设 5 1, (0, ) ,sin( ) , tan 13 2 2 αα β π α β∈ + = = ，则 cosβ的值是（ ）． A． 16 65 − B． 16 65 C． 33 65 − D． 33 65 6． 已知二次函数 2( ) 2 5f x x ax= − + ．若 ( )f x 在区间 ( ],2−∞ 上是减函数，且对 得分 评卷人 一、选择题（每小题 5 分，共 40 分） 高一年级试题（B 卷） （时间：120 分钟 满分：150 分） 高一年级 B 卷 - 2 - 任意的 [ ]1 2, 1, 1x x a∈ + ，总有 1 2( ) ( ) 4f x f x− ≤ ，则实数 a 的取值范围是（ ）． A．[2,3] B．[1,2] C．[-1,3] D．[2,+ ∞） 7． 已知一个蜂巢里有一只蜜蜂，第一天，它飞出去找回了 4 个伙伴 ; 第二天，5 只蜜蜂飞出去， 各自找回了 4 个伙伴，，按照这个规律继续下去，第 20 天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中 一共有蜜蜂（ ）． A．420 只 B．520 只 C． 205 5 4 − 只 D． 214 4 3 − 只 8． 已知点 (1, 1)A − 、 (4,0)B 、 (2,2)C ，平面区域 D 是由所有满足 (1 ,AP AB AC aλ µ λ= + < ≤    1 )bµ< ≤ 的点 ( , )P x y 组成的区域，若区域 D 的面积为 8，则 4a+b 的最小值为（ ）． A．5 B． 4 2 C．9 D．5 4 2+ 9．函数 1 2 2 , ( ) ,log , x x t f x x x t  ≤=  >  的值域为 M，且 4 ∉ M，则实数 t 的取值集合为 ________． 10． 在△ ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且满足 2 1cos sin 2 1,0 2 2 B B B π+ = < < ，若 3BC AB+ =   ，则 16b ac 的最小值为 ________． 11． 已 知 等 差 数 列 {an} 的 首 项 a1=1， 公 差 d ≠ 0， nS 为 数 列 {an} 的 前 n 项 和． 若 向 量 m=(a1,a3)，n=(a13,-a3)，且 m·n=0，则 2 16 3 n n