第十二届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

第十二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题（B卷） 1、 选择题(每小题5分，共40分) 1、 1.已知集合，则集合等于（）A. B. C. D. 2.设函数，则等于（ ） A.0 B.38 C.56 D.112 3.已知函数，若对任意实数，存在实数，使得成立，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4.对任意，函数满足，设，数列的前15项的和为，则等于（ ） A. B. C.1 D. 或 5.锐角三角形ABC中，所对的边分别为；若，，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6.已知满足约束条件若的最大值为6，则的最小值为（ ） A.2 B.3 C. D.5 7. 已知数列中满足，，则的最小值为（ ） A. 7 B. C.9 D. 8.已知集合、，，若满足，则称集合为正序集合，，若满足，称集合为波浪集合，若，则称集合为正序集合的波浪集合.如正序集合的波浪集合为.已知正序集合，则集合的波浪集合的个数为（ ） A.13 B.14 C.15 D.16 2、 二、填空题(每小题6分，共48分) 9. 已知半径为1，分别为其两条切线，切点分别为，则的最小值为________． 10.若且，则的最小值为________． 11.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中.若，则函数的对称中心为________． 12.设函数表示不超过实数的最大整数，则函数的值为________． 13.在中的三个内角的对边分别为，重心为，若，则=________． 14.已知数列,中，是公比为的等比数列.记若不等式对一切恒成立，则实数的取值范围是________. 15.已知函数的定义域为,给定两集合及 ,则集合的元素个数是_________. 16. 用表示自然数的所有因数中最大的那个奇数，例如:9的因数有,，10的因数有,,那么=__________ 三、解答题(17、18题每题14分，19题16分，20题18分，共62分) 17.设集合为函数的定义域，集合为函数的值域，集合为不等式的解集. （1）求；（2）若，求的取值范围. 18.设函数是定义域为R的奇函数. (1)若，试求不等式的解集； (2)若，且上的最小值为，求的值. 19.已知平面上的两个向量满足，且.向量且. (1)如果点为线段的中点，求证：； （2）求的最大值，并求出此时四边形面积的最大值. 20.已知是不相等的正数，在之间分别插入个正数和正数，使是等差数列，是等比数列. (1)若求的值； (2)若，如果存在使得，求的最小值及此时的值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题（B卷）参考答案 1.D 提示：时，时，或故 2.D 提示：由得则 3.B 提示：要满足题意，必须至少包含一个单调增区间，，即，取，即可得到的最小值为. 4.B 提示：由已知，即.两边平方得，即，即，即，所以，即.所以，解得或（舍去）. 5.C 提示：因为，故，即即，故；由正弦定理，故，故，因为为锐角三角形，故故，故,故. 6.A 提示：由可行域可知在点取得最大值，所以，，所以 7. D 提示： ，将以上个式子相加，得，所以，令，由导数知时，递减，当时，递增，，故最小值为，故选D. 8.D 提示：集合的波浪集合为，，.故选D. 9. 提示： 连接 ，则，当且仅当时，等号成立. 10． 提示：. 11. 提示：由是定义在上且周期为2的函数，，即①.又②.联立①②，解得，令，则对称中心为 12.或0 提示：.当时，；当时，；当时，，，故为或0 13. 提示：由三角形重心性质知，,则，因此，. 14. 提示：∵∴∴ 解得或若，则对一切正整数成立，显然不可能； 若则对一切正整数成立，只要即可，即解得 15.7个 提示：，即是偶函数，其图象关于轴对称，且时递增，由得或，解得：，所以，，所以，当时取等号，由此可知恒成立，则，即，所以，即共有7个元素. 16. 提示：由的定义知，且若为奇数时 令，则，即，分别取并累加得，又，所以 17.解：（1）由，解得,又，所以，所以得. （2）因为，由，知 ①当时，由，得，不满足； ②当时，由，得，欲使，则解得， 综上所述，所求的范围是. 18. 解：（1）是定义域为R的奇函数，，又，.故在R上单调递增，原不等式化为：，即所以不等式的解集为. (2)，即（舍去）..令由（1）可知