第十届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

６４　 一、选择 第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(B卷) 题 １．我们称数集T 为数域T,当且仅当数集T 中的任意两个元素经过加法、减法、乘 法、除法(除数不为０)四则运算后,其运算结果仍在数集T 中,则下列数集能称 作数域的是(　　)． A．自然数集 　　　B．整数集 　　　C．有理数集 　　　D．无理数集 ２．给定集合P＝ aa＝log３x,x≥２{ },集合Q＝ bb＝lnx,x≥２{ },集合M ＝ cc＝ １５ æ è ç ö ø ÷ １ x,x≥２{ },则下列说法正确的是(　　)． A．P ⊆Q　　　　　B．Q ⊆P　　　　C．M ⊆Q　　　　 D．Q ⊆ M ３．已知函数f(x)的定义域为 R,对任意的x１,x２ ∈ R,都有f(x１)－f(x２)＝ f(x１－x２２ )f(x１＋x２２ )成立,则函数f(x)的奇偶性是(　　)． A．既奇又偶 　　　B．非奇非偶 　　　　C．奇非偶 　　　　　　　D．偶非奇 ４．△ABC 中,角A、B、C 的对边分别为a、b、c,若acosB２ ＝bcos A ２ ,则 △ABC 是 (　　)三角形． A．等边 　　　　　　　B．等腰 　　　　　　C．直角 　　　　　　　D．等腰或直角 ５．平面直角坐标系中,点O为原点,OA→ ＝ (１,２),OB→ ＝ (２,－１),若OP→ ＝aOA→＋ bOB→,且０＜a≤b≤１,则满足条件的点P(x,y)表示的阴影区域为(　　)． A． 　　 B． 　　 C． 　　 D． ６．２０１３年１１月第十八届三中全会于北京召开,会上指出我国社会保障事业全面推 进,已基本建成覆盖城乡的社会保障体系．２０１２年末,全国参加城镇职工基本养 老保险人数３０４２６．８万人,比１９８９年末增加２４７１６．５万人．假定城镇职工基本养 老保险人数的年增长率保持不变,再经过５年(不考虑其他因素),该人数最接近 (　　)亿人．(注:log５．３１．０７≈ １２３ ,log１．０７１．４≈５) ６５　 A．３．５ B．４．５ C．５ D．６ ７．已知函数f(x)＝ x２－３ ,如果关于x的方程af２(x)＋bf(x)＋c＝０恰有６ 个不同的实数根,则下列说法一定正确的是(　　)． A．３a＋b＞０ B．３a＋b＜０ C．abc≥０ D．ab＜０ ８．将正整数集 N∗ 中划掉所有与１５不互素的数,记剩下的数由小到大排成数列 an{ },再按照两项,一项,两项,一项,两项的顺序循环分组(５组为一个周期): (a１,a２),(a３),(a４,a５),(a６),(a７,a８),􀆺,那么２０１４在第(　　)组． A．６７７ B．６７９ C．６８０ D．６８１ 二、填空题 ９．在等比数列 an{ }中,已知a５＋a６ ＝ ９２ ,a４􀅰a７ ＝２,则a４＋a７ ＝ ． １０．△ABC 中,角A、B∈ ０,π２ æ è ç ],cos２A＋cos２B＝sin(A＋B),则 △ABC 一定是 三角形． １１．若函数f(x)在其定义域内满足f(x)＋２f(１－x)＝ １x＋１ ,则f(x)的函数表 达式为 ．(含自变量的取值范围) １２．在等腰 △ABC 中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知c ２ ab＝２cosC ,则 １ tanA＋ １ tanB＋ １ tanC ＝ ． １３．设x、y满足不等式组 x－y＞－２, ２x＋５y≥１０, ６x＋y≤３０． ì î í ï ï ïï 则z＝y－２x＋３ 的取值范围是 ． １４．给定集合M＝ １,２,􀆺,２０１４{ },若集合N⊆M,且对集合N中任意两个元素x、 y,不妨设x＞y,都有x＋y∉N 或x－y∉N,则称集合N 具有性质p．假定 集合N满足形式 am,am ＋１,􀆺,２０１４{ },则具有性质p的集合N 中的最小元素 am ＝ ． １５．桌面上两两相切地摆放着四个球,球心依次为点O１,O２,O３,O４,记它们的半径 分别为r１,r２,r３,r４．已知r１ ＝r２ ＝r３ ＝３,r４ ＝２,则最上面一个球离桌面的 距离d＝ ． １６．定义运算“∧”满足:a∧b ＝ a􀅰b􀅰 sinθ ,θ为从向量a按逆时针方向到 向量b的夹角(θ∈ ０,[ ２π)),向量(a∧b)垂直于a、b所确定的平面,当sinθ＞ ０时,其垂直平面的方向向上;当sinθ＜０时,其垂直平面的方向向下．下列说法 一定正确的有 ．(填序号) ①a∧b＝b∧a;②a∧b＝－b∧a;③ a∧b( )２ ＝a２ ∧b２;④a∧b２ ＝ a２ ∧b２ ;⑤ 当a∥b时,a∧b＝０;⑥a∧a＝a２． !"#$! ６６　 三、解答题 １７．二次函数f(x)＝ax２＋bx＋c,a、b、c为实数,对任意的θ都有f(cosθ)≤０和 f(