第十届高一试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

６０　 一、选择 第十届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(A卷) 题 １．设集合 M ＝ x x≤０或x≥３{ },集合 N ＝ {x|k＜x＜k＋１,k∈ R},且 ∁RM ∩N ≠ ∅,则实数k的取值范围是(　　)． A．k＜－１或k＞３　　 B．－１＜k＜２ C．－１＜k＜３　　　 D．０＜k＜３ ２．若x∈ －π２ ,０æ è ç ö ø ÷,y∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,且x,y满足关系式sinxcosy＋２sinycosx＝０,则 tan(x＋y)的最小值为(　　)． A．－ ２２　　　　　 B．－ ２ ４　　　　　　C． ２ ２　　　　　 D． ２ ４ ３．定义在(０,π２ )上的三个函数f１(x)＝x＋sinx－１,f２(x)＝x＋sinx－２,f３(x) ＝x＋１２sinx－２ ,其零点分别为x１,x２,x３,则它们的大小关系是(　　)． A．x１ ＜x２ ＜x３　　　 B．x１ ＜x３ ＜x２ C．x３ ＜x２ ＜x１ D．x２ ＜x１ ＜x３ ４．等差数列 an{ }满足an＋１ ＝３an＋４n(n∈ N∗),Sn 为其前n 项和,那么S２０１４１００７＝ (　　)． A．－４０２８　　　　　　B．－４０３０　　　　　　C．－４０３２　　　　　　D．－４０３４ ５．定义在R上的函数f(x)满足:f(x)＋f(－x)＝２０１４,f(１－x)＝f(x＋１),且 当x∈ ０,１[ ]时,f(x)＝２x＋１００７,则f(５２ )＝ (　　)． A．１００６　　　　　　　B．１００７　　　　　　　　C．１００８　　　　　　 D．１００９ ６．在平面四边形ABCD 中,如果 AB→ ＝２,CD→ ＝１１,AD→ ＝１０,且AC→􀅰BD→ ＝ ０,那么 BC→ ＝ (　　)． A．２　　　　　　　　　B．３　　　　　　　　　　C．４ 　　　　　　　　D．５ ７．已知偶函数f(x)＝lgx (x ≠０),则不等式f(x)＋f(x－２)≤０的解为 (　　)． A．０＜x≤１＋ ２且x≠２　　　　　　　　　　　B．１－ ２≤x≤１＋ ２　　 C．１－ ２≤x≤１＋ ２且x≠０,２　　　　　　　　D．x≤１－ ２或x≥１＋ ２ ６１　 ８．如果函数y＝３cos(２x＋φ)的图象关于点( ４π ３ ,０)中心对称,那么 φ 的最小值为 (　　)． A．π２　　　　　　　　　B． π ６　　　　　　　　　　C． π ４ 　　　　　　　　D． π ３ 二、填空题 ９．关于x的不等式 ax＋２ ≥b的解集为 x x≤－２或x≥４{ },则有序数对(a, b)为 ． １０．若函数 f(x)＝cos２x＋sinx＋ １２ ,当 x ∈ －π３ ,π ２[ ] 时,函数的值域是 ． １１．在平行四边形OABC中,O为坐标原点,OA→＝ (log２(a＋１),２),OB→＝ (log２(a２ －３a－４),３),点C在函数y ＝x２ 的图象上,则实数a的值为 ． １２．已知数列 an{ },对任意n∈N∗ 都有an－an＋１＋an＋２＝a ２n＋a２n＋１＋a２n＋２ an＋an＋１＋an＋２ 成立, 且a１ ＝－１３ ,a２ ＝ ２３ ,则数列 an{ }的通项公式an ＝ ． １３．已知m,n∈N,若函数f:m →n,其中n是e＝２．７１８２８１８２８４５９􀆺 的小数点后 的 第 m 位 数 字, 且 fk＋１(m) ＝ f fk(m)[ ],f１(m) ＝ f(m), 则 ff􀆺ff[{􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 ２０１４个f (９)] }＝ ． (第１４题图) １４．由单摆实验得到如图所示曲线,现用正弦函数模型 f(x)＝Asin(ωx＋π６ )＋B来拟合,其中 ω ＜１０．已 知g(x)＝２cos(x－π４ )sin(x－π４ ),则在实数范围内 f(x)＋g(x)的最大值为 ． １５．记 不 超 过 x 的 最 大 整 数 为 x[ ],若 集 合 A ＝ x＞０x２－２x[ ]－３＝０{ },集合B＝ yy＝aR(x),a＞１,x∈ ０,１[ ]{ },当 x＝０或１或 ０,１( )内的无理数时,R(x)＝０;当x＝pq (p q 为既约真分数)时, R(x)＝ １q ．若A ＞B(表示A 中任意一个元素都大于B 中任意一个元素),则 a的取值范围是 ． １６．已知f(x)＝x２－２x,则满足条件 f(x)＋f(y)≤０, f(x)－f(y)≥０{ 的点(x,y)所形成的区 域的面积为 ． !"#$! ６２　 三、解答题 １７． 设 集 合 A ＝ xy＝ １－x２－２x＋８{ },B ＝ yy＝x＋ ２ x＋１{ },C ＝ z (z＋４)(az－２a )≤０{ }． (１)求A ∩B; (