第九届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

５６　 一、选择 第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(B卷) 题 １．已知x,y为实数,集合P＝ {x,xy,lg(xy)},Q＝ {０,|x|,y},f:x→x表示把 集合P 的元素x 映射到集合Q 中仍为x,则x＋y＝ (　　)． A．－２ B．－１ C．０ D．１ ２．若函数f(x)＝loga(x２－２ax－a２＋１１２ )(a＞０,a≠１)在R上的最大值是２, 则a的值为(　　)． A．１２ B． １ ３ C． １ ６ D． １ １２ ３．已知f(x)＝x２－２x,则在下列区间中,f(x)＝０有实数解的是(　　)． A．(－２,－１) B．(－１,０) C．(０,１) D．(１,２) ４．函数f(x)＝|lg(x＋１)|的图象大致是(　　)． ５．已知向量e１、e２ 不共线,且实数x、y满足(２x－３y)e１＋(３x－４y)e２ ＝４e１＋５e２, 则log２(２x＋|y|)的值为(　　)． A．１２log２５ B．log２５－２ C．log２５－１ D．log２５ ６．数列{an}、{bn}都是等差数列,且a１＝２,b１＝２,a２＋９b２＝２５,若cn＝an＋９bn, 则c９ 的值为(　　)． ５７　 A．０ B．２５ C．４５ D．６０ ７．为使f(x)＝sinnπx(n∈N∗)在区间[０,１]上至少出现１００次最大值,则n的最 小值为(　　)． A．１９８ B．１９９ C．２００ D．２０１ ８．函数f(x)＝ x１＋x ,则f(２０１３)＋f(２０１２)＋f(２０１１)＋ 􀆺 ＋f(１)＋f １２ æ è ç ö ø ÷＋ f １３ æ è ç ö ø ÷＋􀆺＋f １２０１３ æ è ç ö ø ÷ 的值为(　　)． A．２０１２ B．２０１２１２ C．２０１３ D．２０１３ １ ２ 二、填空题 ９．定义集合A,B的一种运算:A 􀱇B＝ {x＝x１＋x２,x１ ∈A,x２ ∈B},若A ＝ {１,２,３},B＝ {４,５},则A 􀱇B中的所有元素之和为 ． １０．已知全集为R,函数f(x)＝ln(２－x)的定义域为集合A,集合B＝ {x|x２－ x－６＞０},C＝ {x|m≤x≤２m＋３},若C⊆ (A∩ (∁RB)),则实数m的取 值范围是 ． １１．在数列{an}中,a１ ＝９,a３ ＝５,且an＋２－２an＋１＋an ＝０(n∈N∗),则|a１|＋ |a２|＋|a３|＋􀆺＋|a１００|＝ ． １２．已知tanx＝２,则sin２x＋２sinxcosx＋３cos２x＝ ． １３．对于函数f(x),若存在x０ ∈R,使得f(x０)＝x０,则称x０ 是f(x)的一个不动 点．已知函数f(x)＝ax２＋bx＋b＋１(a≠０)对于任意b∈R,f(x)恒有两个 相异的不动点,则实数a的取值范围是 ． １４．如图,将两块三角板拼在一起组成一个平面四边形ABCD,若AC→ ＝xAB→ ＋ yAD→(x,y为实数),则x＋y＝ ． １５．设f(n)为正整数n的各数位上的数字的平方和,例如f(４２１)＝４２＋２２＋１２＝ ２１．记f１(n)＝f(n),fk＋１(n)＝fk(f(n)),k＝１,２,３,􀆺,则f２０１３(２０１３)＝ ． １６．数列{an}满足a１ ＝１,a２ ＝１,an＋２ ＝ １＋cos２nπ２ æ è ç ö ø ÷an＋sin２nπ２ ,n＝１,２,３, 􀆺．前n项和为Sn,则S２０ ＝ ． !"#$! ５８　 三、解答题 １７．已知函数f(x)是定义域在R上的偶函数,且在区间(－∞,０)上单调递减,求满 足f(x２＋２x－６)＞f(２)的x的集合． １８．设向量a＝ (２cosα,sinα),b＝ (sinβ,２cosβ),c＝ (cosβ,－２sinβ)． (１)若a⊥ (b＋２c),求tan(α＋β)的值; (２)求|b－c|的最小值; (３)若a∥b,求tanαtanβ的值． ５９　 １９．当a(a＞１)为何值时,不等式log１a x２－ax＋３＋１( )􀅰log２(x２－ax＋４)＋loga２ ≥０恰有一个解． ２０．数列{an}、{bn}满足:２an＋１an－８an＋１＋an＋５＝０(n∈N∗),且a１＝ ８５ ,bn ＝ １ an－１ (n∈N∗)． (１)求b１、b２ 的值; (２)求数列{bn}的通项公式; (３)求数列{anbn}的前n项和Sn． !"#$! １７０　 ２f ２( )－１＝２×１２f １ ( )－１＝f １( )－１, 则f １( )＋１２f １ ( )＋f １( )－１＝１４,所以 f １( ) ＝６,f ３( )＝f １( )－１＝５,f ４( )＝ １ ２f ３ ( )＝ ５２． １５．９　 提示:分别将方程变形为log２０