第九届高一试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

５２　 一、选择 第九届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(A卷) 题 １．集合 ２０１３,３,２４,９{ }的非空真子集有(　　)． A．１３个 B．１４个 C．１５个 D．１６个 ２．已知２cosθ＋３sinθ４cosθ－５sinθ＝６ ,则tanθ的值为(　　)． A．２３ B． ７ ８ C． ２７ ２２ D． ３ ２ ３．函数f(x)＝x２＋(a－２)x＋３在区间(－∞,４)上是减函数,则a的取值范围是 (　　)． A．a≥－６ B．a≥４ C．a≤－６ D．a≤４ ４．下列命题正确的是(　　)． A．若a、b都是单位向量,则a＝b B．向量AB→ 与BA→ 是两平行向量 C．若AB→ ＝CD→,则A、B、C、D 四点构成平行四边形 D．两向量相等的充要条件是它们的始点和终点相同 ５．奇函数f(x)在(０,＋∞)上为增函数,且f(１)＝０,则不等式f (x)－f(－x) x ＞０ 的 解集为(　　)． A．(－１,０)∪ (１,＋∞) B．(－∞,－１)∪ (０,１) C．(－∞,－１)∪ (１,＋∞) D．(－１,０)∪ (０,１) ６．如图,Rt△AEF 是正方形ABCD 的内接三角形,若 tan∠EAF＝２３ ,则点C分线段BE所成的比为(　　)． A．３２ B．－ ２ ３ C．－５３ D．－ ３ ２ ７．等差数列{an}的前n项和为Sn,若a３＋a９＋a２１的值为常数,则下列各数中也是常 数的是(　　)． A．S２１ B．S２２ C．S２３ D．S２４ ５３　 ８．对于函数f(x)＝ sinx,sinx≤cosx, cosx,sinx＞cosx．{ 下列说法正确的是(　　)． A．f(x)的值域是[－１,１] B．当且仅当x＝ (２k＋１)πk∈Z( )时,f(x)取得最小值－１ C．f(x)的最小正周期是π D．当且仅当２kπ＜x＜２kπ＋π２ k∈Z ( )时,f(x)＞０ 二、填空题 ９．集合A＝ {x２,x－１,－２},B＝ {x－２,２x－１,x２＋１},若A ∩B＝ {－２},则 实数x＝ ． １０．向量a＝ (２,１),b＝ (－１,－１),若m＝a＋λb,其中λ∈R,则|m|的最小值 为 ． １１．已知cos(α＋β)＝ ４ ５ ,cos(α－β)＝－ ４ ５ ,且α＋β∈ ３π ２ ,２πæ è ç ö ø ÷,α－β∈ π ２ ,πæ è ç ö ø ÷, 则sin２α＝ ． １２．数列 an{ } 的首项为a１,前n 项和为Sn,若Sn,an,１成等差数列,则an ＝ ． １３．一个机器零件的三视图如图所示(单位:cm),该零件的表面积为 cm２． １４．函数y＝f(n)满足:f(n)＝ １ ２f (n－１), n为偶数, ２f(n－１)－１, n为奇数． ì î í ïï ï 且f(１)＋f(２)＋ f(３)＝１４,则f(４)＝ ． １５．设m、n分别是方程log２０１３x＋x－９＝０和２０１３x＋x－９＝０的根,则m＋n＝ ． １６．已知集合A,B,C(不必相异)的并集A∪B∪C＝ {１,２,３,４,５},且１∈ (A∪ B),２∈ (B∪C),３∈ (C∪A),则满足条件的有序三元组(A,B,C)的个数是 个． !"#$! ５４　 三、解答题 １７．已知集合A ＝ {x|x２＋(a＋１)x＋a２－４＝０},B＝ {x|x２－３x＋２＝０}, (１)若A ∩B＝ {１},求实数a的值; (２)若A ∪B＝B,求实数a的取值范围． １８．已知函数f(x)＝ax２＋x＋ca,c∈N∗( )满足:①f １( )＝５;②f(２)＜１２． (１)求f(x)的解析式; (２)若对任意的实数x∈ １２ ,２æ è ç ö ø ÷,f(x)－mx ≤１恒成立,求实数m 的取值范 围． ５５　 １９．如图,在 △ABC 中,∠C＝９０°,点E是BC 上一点,且满足:AB→＋AC→ ＝２AE→, 以点A为圆心,AC 的长为半径作圆交AB 于点D,交AE 于点F．若 BD→ ＝４, BC→ ＝２AC→ ,求 EF→ 的值． ２０．数列{an}满足an ＝２an－１＋２n－１(n∈N∗ ,n≥２),且a３ ＝２５． (１)求a１,a２; (２)是否存在实数t,使得bn ＝ １２n (an＋t)(n∈N∗),且{bn}为等差数列?若存在, 求出t的值;若不存在,说明理由． (３)求{an}的通项公式． !"#$! １６９　 ∑ ２０１１ k＝２ １ k k＋１( ) ＋ 􀆺＋２０１１ a２０１１ －a２０１２ • １ ２０１１×２０１２＝ a１ －a２ • １－ １２０１２( )＋ a２ －a３ • １－ ２２０１２( )＋􀆺＋ a２０１１ －a２０１２ • １－２０１１２０１２( ) ≤