第八届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

４９　 一、选择 第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(B卷) 题 １．已知集合P＝ x|x２－x－１２≤０{ },Q＝ {x|m≤x≤２m－３},P∩Q＝Ø, 则实数m 的取值范围是(　　)． A．{m|m ＜０或m ＞４} B．{m|０＜m ＜４} C．{m|m ＜３或m ＞４} D．{m|３＜m ＜４} ２．定义在 R上的任意函数f(x)都可以表示成一个奇函数g(x)与一个偶函数 h(x)之和,如果f(x)＝ln(ex＋１),x∈R,那么(　　)． A．g(x)＝x,h(x)＝ln(ex＋１)－x B．g(x)＝ln (x２＋１)＋x ２ ,h(x)＝ln (x２＋１)－x ２ C．g(x)＝ x２ ,h(x)＝ln(ex＋１)－x２ D．g(x)＝－x２ ,h(x)＝ln(ex＋１)＋x２ ３．在y＝２x,y＝lgx,y＝sinx,y＝x２ 这四个函数中,当０＜x１ ＜x２ ＜１时,使 f x１＋x２ ２ æ è ç ö ø ÷＞f (x１)＋f(x２) ２ 恒成立的函数的个数是(　　)． A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ４．已知sinx＋cosx＝ １２ ,则sin３x＋cos３x＝ (　　)． A．１１１６ B． ９ １６ C． ５ ８ D． ７ ８ ５．若a,b是非零向量,且满足(a＋２b)⊥a,(b＋２a)⊥b,则a与b的夹角是(　　)． A．π６ B． π ３ C． ２π ３ D． ５π ６ ６．若关于x的方程mx２－mx＋４＝０恰有一根在[－１,１]上,则m 的取值范围是 (　　)． A．m ≤－２ B．m ≥－２ C．－２＜m ≤１６ D．m ≤－２或m ＝１６ ７．{an}为正项等比数列,且a４a９＋a５a８＝１６,则log２a１＋log２a２＋􀆺＋log２a１２＝ (　　)． !"#$! ５０　 A．１８ B．１６ C．１４＋log２３ D．１２＋２log２３ ８．已知集合A＝ {１,２,３,􀆺,２０１２}的子集B满足:对任意x,y∈B,有x＋y∉B, 则集合B中元素个数的最大值是(　　)． A．１００５ B．１００６ C．１００７ D．１００８ 二、填空题 ９．已知集合 M ＝ {a,b,c}到集合N＝ {０,１,２}的映射f满足f(a)􀅰f(b)＝f(c), 则不同的映射f有 个． １０．记不超过x 的最大整数为[x],若集合P ＝ {x|x２ －２[x]－３＝０},Q ＝ x|１８ ≤２ x ≤８{ },则P ∩Q＝ ． １１．在正整数构成的等差数列１,２,３,４,􀆺 中划掉所有与３５不互质的项,将余下的 项按从小到大的顺序排成一个新的数列{an},再按照第k组含有k 项进行分 组:(a１),(a２,a３),(a４,a５,a６),􀆺,则２０１２在第 组． １２．已知数列an 的前n项和Sn ＝n２＋２n＋３,则a５＋a６＋a７＋a８＝ ． １３．已知向量a ＝ (cosθ,sinθ),向量b ＝ (１,２),则 |２a－b|的最小值是 ． １４．定义在整数集上的函数f(x)满足:f(n)＝ n－２,n≥２０１２, f[f(n＋４)],n＜２０１２．{ 则f(１) ＝ ． １５．不等式 log２x－１＋１３log １ ２x３＋３＞０的解集为 ． １６．设数列{an}满足a１ ＝１０,an ＞０,且１０a２n ＝a５n－１,则通项an ＝ ． 三、解答题 １７．如图,在 △ABC中,点D分BC→所成的比为３２ ,点O为线段AD 上一动点,若AD ＝４,求OA→􀅰(２OB→＋３OC→)的最小值． ５１． ． 　 １８．已知f(x)＝ax２＋bx＋c(a＞０)对任意x∈R,有f(x＋２)＝f(２－x),若 f(３＋x２)＜f(２x２－７x－５),求x的取值范围． １９．已知f(x)＝cos２x＋asinx＋b(其中a,b为常数,且a＞０)在 ０,π２[ ]上的最大 值和最小值分别为 ２＋１和 ２,求a,b的值． ２０．实数列a１,a２,a３,􀆺,a２０１２满足∑ ２０１１ k＝１ |ak－ak＋１|＝２０１２,Sk 为{an}前k项和,令 bk ＝ Sk k ,k＝１,２,３,􀆺,２０１２,求∑ ２０１１ k＝１ |bk－bk＋１|的最大值． !"#$! １６７　 由 ① 知f(１)≥１,由 ② 知f(１)≤１, 所以f(１)＝１,a＝ １４ , f(x)＝ １４ (x＋１)２, 又f x＋t( ) ≤x,即１４ x＋t＋１ ( )２ ≤x, 整 理 得 x２ ＋ ２t－１( )x ＋ t＋１( )２ ≤ ０(∗), 解得１－t－２ －t≤x≤１－t＋２ －t, (∗)式在[１,m]上恒成立,当x＝１时,有 t２ ＋４t≤０,解得－４≤t≤０, 所以m ≤