第八届高一试题（A卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

４６　 一、选择 第八届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(A卷) 题 １．已知集合A ＝ {x|３＜x≤１８},B＝ {x|８≤x＜２４},则A ∩B＝ (　　)． A．{x|８≤x≤１８} B．{x|８＜x≤１８} C．{x|１８≤x＜２４} D．{x|３＜x＜２４} ２．非空集合 M ⊆ {１,２,３,４,５,６,７,８},满足条件:若x∈M,则９－x∈M．这样的 M 有(　　)． A．１３个 B．１４个 C．１５个 D．１６个 ３．若sin(α＋β)＝ ４ ５ ,cos(α－β)＝ １２ １３ ,且π ２ ＜α＋β＜π ,０＜α－β＜ π ２ ,则sin２α ＝ (　　)． A．－３３６５ B． ３３ ６５ C．－ ６３ ６５ D． ６３ ６５ ４．已知等比数列{an}首项a１＝２０１２,公比q＝－１２ ,用Tn表示该数列前n项之积, 则Tn 中最小的是(　　)． A．T９ B．T１０ C．T１１ D．T１２ ５．满足A ＝６０°,a＝ １０,b＝４(其中a,b分别为角A,B 所对的边)的三角形有 (　　)． A．０个 B．１个 C．２个 D．无数个 ６．已知f(x)是奇函数,且在(０,＋∞)内是减函数,又f(１)＝０,则x􀅰f(x)＜０ 的解集是(　　)． A．{x|－１＜x＜０或x＞１} B．{x|x＜－１或０＜x＜１} C．{x|－１＜x＜０或０＜x＜１} D．{x|x＜－１或x＞１} ７．已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若a１＝７４,k＞１,且a２k＝ak－１＋ak＋１,S２k－１ ＝１９４,则a９ ＝ (　　)． A．６２ B．６４ C．６６ D．６８ ８．已知函数f(x)＝ １ ax－１ ＋１２ æ è ç ö ø ÷cosx＋８(a为常数,且a＞１),f(lnlog２１０)＝ １０,则f(lnlg２)＝ (　　)． A．４ B．６ D．１C．８ ０ ４７　 二、填空题 ９．已知集合A ＝ {a,aq,aq２},B＝ {a－d,a,a＋d},其中a≠０,a∈R,若A＝B, 则q＝ ． １０．函数f(x)＝ cxx＋２ (x≠－２)满足f[f(x)]＝x,则常数c＝ ． １１．已知x２＋y２－４x－８y＋２０＝０,则logx(yx)＝ ． １２．若向量|a|＝２,|b|＝３,|a－b|＝４,则|a＋b|＝ ． １３．等差数列{an},{bn}前n项和分别为Sn,Tn,且满足 Sn Tn ＝２n＋３４n＋５ ,则a９ b９ ＝ ． １４．若函数f(x)＝|x２ －２x－３|－a 的零点个数为 ４,则a 的取值范围是 ． １５．整数m,n满足log４m ＝log６n＝log９(m＋２n),则mn ＝ ． １６．在 △ABC 中,AB ＝１,∠C＝ π６ ,则AC＋BC 的最大值是 ． 三、解答题 １７．已知 M ＝ {x|x２－x－a≤０},N ＝ {x|－x２＋ax－１８≤０},A＝M ∩N, B＝ {x|１≤x≤３},若A ⊇B,求a的取值范围． １８．平面向量a＝ (１,３),b＝ ３２ ,－１２ æ è ç ö ø ÷,若存在整数k,t使x＝a＋(t－２)b,y ＝ka＋(t＋３)b,且x⊥y,试求k＋t的最大值． !"#$! ４８　 １９．已知数列{an}(n∈N∗)中,a１ ＝２,an＋１ ＝ ２a ． ． n １－an ,bn ＝ １an ＋１, (１)求{an}的通项公式; (２)若cn ＝２n＋１bn (n∈N∗),Sn 为{cn}的前n项和,是否存在k∈N∗ ,使得对 于任意n＞k,都有Sn ＞２０１２?若存在,求出k的最小值;若不存在,请说明 理由． ２０．已知函数f(x)＝ax２＋bx＋c(a,b,c∈R,a≠０)满足下列条件: (１)当x∈R时,f(x－３)＝f(１－x),且f(x)≥x; (２)当x∈ (０,２)时,f(x)≤ x＋１２ æ è ç ö ø ÷ ２ ; (３)f(x)在R上的最小值为０． 求最大的m(m＞１),使得存在t∈R,只要x∈[１,m],就有f(x＋t)≤x成立． １６５　 整数m, 使得对 S 中的 任 意 一 对 元 素s１,s２,都 有 s１ －s２ ≠m． 对于上述正整数m, 从集合 T ＝ ２００１－x x∈S{ }中任取一 对元素t１ ＝２００１－x１,t２ ＝２００１－x２,其中 x１,x２ ∈S, 则有 t１ －t２ ＝ x１ －x２ ≠m, 所以集合T＝ ２００１－x x∈S{ }具有性质P． (ⅱ)设集合S有k个元素．由第(ⅰ)问知, 若集合S具有性质P,那么集合 T＝ ２００１－x x∈S{ }一定具有性质P． 任给x∈S,１≤x≤２０００,则x与２００１－x 中必有一个不超过１０００, 所以集合S与T 中必有一个集合中