第七届高一试题（B卷）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

４１　 一、选择 第七届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(B卷) 题 １．已知函数f(x)的定义域为[０,１],且满足下列条件: ① 对于任意x∈ [０,１],总有f(x)≥２; ② 若x１ ≥０,x２ ≥０,x１＋x２ ≤１,则有f x１＋x２( )≥f x１( )＋f(x２)－２． 则f(０)＝ (　　)． A．０ B．１ C．２　　 D．３ 　(第２题图) ２．如图,点A、B分别在射线OM、ON 上,给出下列向量: ①OA→＋２OB→; ② １２OA →＋２５OB →; ③ ３４OA →＋１３OB →; ④ ３４OA →＋２９OB →; ⑤ ３４OA →－１５OB →． 这些向量中以O为起点,终点在阴影区域内的是(　　)． A．①② B．①④ C．①③ D．⑤ ３．已知集合 M ＝ １,ab ,b{ },N ＝ ０,a＋b,b２{ },若 M ＝ N,则a２０１０ ＋b２０１１ ＝ (　　)． A．２０１０ B．２０１１ C．０ D．－１ ４．设m是正整数,数列a０,a１,􀆺,am 满足a０＝３７,a１＝７２,am ＝０,且ak＋１＝ak－１ －３ak ,k＝１,２,􀆺,m－１,则m ＝ (　　)． A．８８８ B．８８９ C．８９０ D．８９１ (第５题图) ５．如图,某园林单位准备绿化一块直径为BC 的半圆形空 地,△ABC外的地方种草,△ABC的内接正方形PQRS 为一水池,其余的地方种花．若BC ＝a,∠ABC ＝θ, △ABC 的面积为S１,正方形的面积为S２．当a为定值, θ变化时,S２S１ 的最大值为(　　)． A．１４ B． １ ３ C． ４ ９ D． ５ ９ !"#$! ４２　 ６．手表的表面在一平面上,整点１,２,３,􀆺,１２这１２个数字等间隔地分布在半径为 ２ ２ 的圆周上．从整点i到整点(i＋１)的向量记作titi＋１→,则t１t２→􀅰t２t３→＋t２t３→􀅰t３t４→ ＋􀆺＋t１２t１→􀅰t１t２→ ＝ (　　)． A．６ ３－９２ B．６ ３－９ C．１２ ３－９ D． １２ ３－９ ２ ７．将平面直角坐标系Oxy中坐标原点O 和x 轴正半轴保留,y轴去掉,且换x为r 便可以得到平面的极坐标系,极坐标为A r,θ( ),其中r＝ OA ,θ为直线OA 与 x轴正向夹角．运用你所学过的数学知识,推测极坐标方程r＝asin３θ(a＞０)的 图象最可能是(　　) ８．定义:(ⅰ)minx表示x的最小值;(ⅱ)[x]表示不超过x的最大整数．设a,b,c为 正数,则min a＋bc[ ]＋ b＋c a[ ]＋ c＋a b[ ] æ è ç ö ø ÷ ＝ (　　)． A．０ B．２ C．３ D．４ 二、填空题 ９．函数f(x)＝x２－４x＋３,若 f(x)－a ＜２恒成立的充分条件是１≤x≤２,则 实数a的取值范围是 ． １０．某安全部门为了保证信息安全传输,采用一种密钥密码系统,其加密、解密原 理如下图: 明文 加密密钥密码 → 密文 发送 → 密文 解密密钥密码 → 明文 现设解密密钥为:x→y＝ax(a＞０,a≠１),如上所示,若密文“３”通过解密后 得到 明 文 “８”,则 当 输 入 方 输 入 明 文 为 “４”时,接 受 方 所 得 密 文 应 为 “ ”． １１．定义集合A ＝ {a,b,c,d}上的二元运算“”见右表所示, 如果有一个元素ϑ∈A,对于任意的x∈A,都有ϑx＝x ϑ＝ϑ,则称ϑ为A 关于运算 的零元．判断A关于运算 的 零元是 ． １２．x∈R,函数f(x)＝２sinx２＋３cos x ３ 的最小正周期为 ． a b c a a b c b b b b c c b a d d b d (第１１题图) １３．数学课上,老师列出了１１个式子,它们分别是:lg０．０２１＝２a＋b＋c－３,lg０．２７ ４３　 ＝６a－３b－２,lg１．５＝３a－b＋c,lg２．８＝１－２a＋２b－c,lg３＝２a－b,lg５ ＝a＋c,lg６＝１＋a－b－c,lg７＝２(a＋c),lg８＝３－３a－３c,lg９＝４a－２b, lg１４＝ １ －a ＋ ２b,其 中 有 两 个 式 子 是 错 的,它 们 的 正 确 结 果 是: 　　　　　　　　　　　　　　　　． １４．图(１)是反映某条公共汽车线路收支差额(即营运所得票价收入与付出成本的 差)y与乘客量x 之间关系的图象．由于目前该条公交线路亏损,请你提出符合 图(２)、(３)所示的调整建议 ． １５．若a＞０,b＞０且a＋b＝１,那么(a＋１a )(b＋１b )＋１的最小值为 ． １６．已知有穷数列A:a１,a２,􀆺,an(n≥２)．若数列A 中各项都是集合{x|－１＜x ＜１}的元素,则称该数列为Γ数列．对