第六届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

３４　 一、选择 第六届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) 题 １．已知集合An ＝ {x|２n ＜x＜２n＋１ 且x＝７m＋１,m,n∈N∗},则A６ 中各元素 之和为(　　)． A．７９２ B．８９０ C．８９１ D．９９０ ２．若一系列函数的解析式相同,值域相同,但定义域不同,则称这些函数为“孪生 函数”,那么函数解析式为y ＝２x２ ＋１,值域为{５,１９}的“孪生函数”共有 (　　)． A．１０个 B．９个 C．８个 D．７个 ３．设０＜a＜１,函数f(x)＝logax＋log１a (２－x),则f－１(x)＜１的x的取值范 围是(　　)． A．(０,２) B．(２,＋∞) C．(０,＋∞) D．(loga(２－a),＋∞) ４．已知无穷数列{an}是各项均为正数的等差数列,则有(　　)． A．a４a６ ＜ a６ a８ B．a４a６ ≤ a６ a８ C．a４a６ ＞ a６ a８ D．a４a６ ≥ a６ a８ ５．已知函数f(x)＝ x＋１２ ,x≤ １２ æ è ç ö ø ÷, ２x－１,１２ ＜x＜１ æ è ç ö ø ÷, x－１,(x≥１)． ì î í ï ï ï ï ï ï 若数列{an}满足a１ ＝ ７３ ,an＋１ ＝ f(an)(n∈N∗)则a２０１０ ＝ (　　)． A．４３ B． １ ３ C． ５ ６ D． ２ ３ ６．当０＜x＜ π４ 时,函数f(x)＝ cos ２x cosxsinx－sin２x 的最小值为(　　)． A．１４ B． １ ２ C．２ D．４ 二、填空题 ７．已知an ＝sinnπ６ ＋ １６ ２＋sinnπ６ (n∈N∗),则数列{an}的最小值为 ． ８．若函数f(x)＝ax－x－a(a＞０且a≠１)有两个零点,则实数a的取值范围为 ３５　 ． ９．已知集合A ＝ {x| n (x＋１)n＋ n＋１(x＋１)n＋１ ＝０,n∈N∗},若不等式x２＋ax ＋１＞０对x∈A 中任意x 都成立,则实数a的取值范围为 ． １０．设定义在R上的函数f(x)的反函数为f－１(x),且对任意的x∈R都有f(x) ＋f(－x)＝３,则f－１(x－１)＋f－１(x－２)＋f－１(４－x)＋f－１(５－x)＝ ． １１．△ABC的三边a、b、c满足a≥b≥c且logsinAsinB＋logsinBsinC＝２logsinCsinA, 则 △ABC 的形状是 ． １２．如果数列{an}满足 an＋１＋an＋２ an＋an＋１ ＝q(q为非零常数),就称数列{an}为和比数 列,下列四个说法中正确的是 (填序号)． ① 若{an}是等比数列,则{an}是和比数列; ② 设bn ＝an＋an＋１,若{an}是和比数列,则{bn}也是和比数列; ③ 存在等差数列{an},它也是和比数列; ④ 设bn ＝ (an＋an＋１)２,若{an}是和比数列,则{bn}也是和比数列． 三、解答题 １３．已知α、β、γ成公比为２的等比数列(α∈ [０,２π]),且sinα、sinβ、sinγ也成等比数 列,求α、β、γ的值． １４．已知函数f(x)＝ １ ４x＋m (m＞０),x１,x２∈R,当x１＋x２＝１时,f(x１)＋f(x２) ＝ １２． (１)求m 的值; (２)已知an ＝f(０)＋f １ n æ è ç ö ø ÷＋f ２n æ è ç ö ø ÷＋􀆺＋f nn æ è ç ö ø ÷,求an 的解析式． !"#$! ３６　 １５．已知定义在 －π２ ,π[ ]上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝ π４ 对称,当x≥ π ４ 时,f(x)＝sinx． (１)求f －π２ æ è ç ö ø ÷,f －π４ æ è ç ö ø ÷的值; (２)求y＝f(x)的函数表达式; (３)如果关于x的方程f(x)＝a有解,记m(a)为方程所有解的和,求m(a)． １６．设Sn 是正项数列{an}的前n项和,且Sn ＝ １４a ２ n＋ １ ２an－ ３ ４． (１)求数列{an}的通项公式; (２)是否存在等比数列{bn},使a１b１＋a２b２＋􀆺＋anbn ＝ (２n－１)􀅰２n＋１＋２ 对一切正整数都成立?证明你的结论; (３)设 Cn ＝ １１＋an (n∈N∗),且数列{Cn}的前n项和为Tn,试比较Tn 与１６ 的大小． １５５　 所以F(m)＋F(n)＝am２＋１＋(－an２－１) ＝a(m２ －n２)＝a(m－n)(m＋n), 因为a＞０,m－n＞０,m＋n＞０,∴F(m) ＋F(n)＞０,∴F(m)＋F(n)能大于０． １６．解:(１)∵点(n,Sn)在函数f(x)＝x２＋x的 图象上,∴Sn ＝n２ ＋n,a１ ＝S１ ＝２, 当n≥２时,an ＝Sn－Sn－１ ＝