第六届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

３１　 一、选择 第六届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １．满足 M ⊆ {a１,a２,a３,a４}且 M ∩ {a１,a２,a３}＝ {a１,a２}的集合 M 的个数是 (　　)个． A．１ B．２ C．３ D．４ ２．设 M ＝ {(x,y)|x,y∈R},N ＝ {f(x)|f(x)＝acos２x＋bsin２x},给出M 到 N 的映射F:(a,b)→f(x)＝acos２x＋bsin２x,则点(１,３)的象f(x)的最小正 周期为(　　)． A．π２ B．２π C．π D． π ４ ３．若点(sinθ,sin２θ)位于第四象限,则 sinθ |sinθ|＋ cosθ |cosθ|＋ tanθ |tanθ| 的值为(　　)． A．－１ B．１ C．－３ D．３ ４．设a,b,c均为正数且３a＝log１３a, １ ３ æ è ç ö ø ÷ b ＝log１３b, １ ３ æ è ç ö ø ÷ c ＝log３c,则a,b,c的大小 顺序为(　　)． A．a＜c＜b B．b＜c＜a C．b＜a＜c D．a＜b＜c ５．设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S１５ ＞０,S１６ ＜０,则 S１ a１ ,S２ a２ ,􀆺,S１５ a１５ 中最大 的是(　　)． A．S１５a１５ B．S９a９ C．S８a８ D．S１a１ ６．已知f(x)＝ sinπx,(x＜０), f(x－１)－１,(x＞０)．{ 则f － １１ ６ æ è ç ö ø ÷＋f １１６ æ è ç ö ø ÷的值为(　　)． A．－１ B．－２－ ３ C．－２ D．－３ 二、填空题 ７．已知sinα＋sinβ＝１,则sinαsinβ＋sinα的取值范围为 ． ８．已知函数f(x)＝ksinx＋６x－４ (k∈R),x＝２＋ ３是函数f(x)的一个零点, 则f １ ３－２ æ è ç ö ø ÷ 的值为 ． ９．已知函数f(x)＝lg５x＋ ４ ５x ＋mæ è ç ö ø ÷的值域为R,则m 的取值范围是 ． !"#$! ３２　 １０．已知数列{an}的通项公式an ＝n２cosnπ,Sn 为它的前n 项和,则S２n－１ ＝ ． １１．定义域为 R 的函数f(x)＝ １ |x－２| ,(x≠２), １,(x＝２)． ì î í ïï ï 若关于x 的方程f２(x)＋ bf(x)＋c＝０恰有５个不同的实数根x１,x２,x３,x４,x５,则f(x１＋x２＋x３＋x４ ＋x５)＝ ． １２．若数列{an}满足 an＋２ an＋１ ＋ an＋１ an ＝k(k为常数),则称数列{an}为等比和数列,k称 为公比和,已知数列{an}是以３为公比和的等比和数列,其中a１＝１,a２＝２,则 a２０１０ ＝ ． 三、解答题 １３．设函数f(x)＝sinax＋ ３cosax(０＜a＜１),g(x)＝tan mx＋π６ æ è ç ö ø ÷(０＜m＜ １),已知函数f(x),g(x)的最小正周期相同,且f(１)＝２g(１)． (１)试确定f(x),g(x)的解析式; (２)求f(x)的单调递增区间． １４．已知正项数列{an}的前n项和为Sn,a１＝２３ ,且满足２Sn＋１＋２Sn＝３a２n＋１(n∈ N∗)． (１)求数列{an}的通项公式; (２)求证:当n≥２时,１ a２２ ＋１ a２３ ＋􀆺＋ １ a２n ＜ ９４． ３３　 １５．设函数f(x)＝ax２＋bx＋１(a、b为实数),F(x)＝ f(x),(x＞０), －f(x),(x＜０)．{ (１)若f(－１)＝０且对任意实数x均有f(x)≥０成立,求F(x)的表达式; (２)在(１)的条件下,当x∈ [－２,２]时,g(x)＝f(x)－kx是单调函数,求实数 k的取值范围; (３)设mn＜０,m＋n＞０,a＞０且f(x)为偶函数,判断F(m)＋F(n)能否大 于０． １６．设数列{an}的前n项和为Sn,对一切n∈N∗ ,点(n,Sn)在函数f(x)＝x２＋ x的图象上． (１)求an 的表达式; (２)设An 为数列 an－１ an{ }的前n项积,是否存在实数a,使得不等式An an＋１ ＜a对一切n∈N∗ 都成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,请说明 理由; (３)将数列{an}依次按１项、２项循环地分为(a１),(a２,a３),(a４),(a５,a６), (a７),(a８,a９),(a１０),􀆺,分别计算各个括号内各数之和,设由这些和按原 来括号的前后顺序构成的数列为{bn},求b１００ 的值． !"#$! １５３　 f(n－m)＋f(m)≥f(m),即f(x)在[０,１] 上递增． 若x０ ＜f(x０),由题设及单调性知,f(x０) ≤f[f(x０)]＝x０,矛盾;