第五届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

２８　 一、选择 第五届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) 题 １．设[x]为不大于x的最大整数,集合A ＝{x|x２－[x]＝２},B＝ {x||x|＜２}, 则A ∩B等于(　　)． A．(－２,２)　　　　B．[－２,２]　　　　C．{３,－１}　　　　D．{－ ３,１} ２．如果f(x)＝１－logx２＋logx２９－logx３６４,则使f(x)＜０的x的取值范围为 (　　)． A．０＜x＜１ B．１＜x＜ ８３ C．x＞１ D．x＞ ８ ３ ３．已知数列{an}满足a１ ＝１,a２ ＝２, an＋１＋an an ＝ an＋２－an＋１ an＋１ (n∈N∗),则a２００９ 等于(　　)．(记n􀅰(n－１)􀅰(n－２)􀅰􀆺􀅰２􀅰１＝n!) A．２００８! B．２００９! C．２２００８×２００８! D．２２００９×２００９! ４．对任意的锐角α,β,下列不等关系中正确的是(　　)． A．sin(α＋β)＞sinα＋sinβ B．sin(α＋β)＞cosα＋cosβ C．cos(α＋β)＜sinα＋sinβ D．cos(α＋β)＜cosα＋cosβ ５．设A,B是两个集合,定义 M∗N ＝ {x|x∈ M 且x ∉ N},若 M ＝ {y|y＝ log２００９(－x２ －２x＋２００８)},N ＝ {y|y ＝ x,x ∈ [０,９]},则M∗N 等于 (　　)． A．[０,１] B．(－∞,０)∪ (１,３] C．(－∞,０] D．(－∞,０) ６．设f(x)＝１＋x１－x ,又记f１(x)＝f(x),fk＋１(x)＝f(fk(x)),k＝１,２,３,􀆺,则 f２００９(x)等于(　　)． A．１＋x１－x B． x－１ x＋１ C．x D．－ １ x 二、填空题 ７．设函数y＝f(x)存在反函数y＝f－１(x)且y＝f(x＋１)的图象经过定点(２, ４),则y＝f－１(x＋５)必过定点 ． ８．已知tanα＝２,则sinαcos３α＝ ． ９．集合S＝ {１,２,３,４,５,６},A是S 的含有４个元素的子集且满足条件:x∈A,则 ２９　 x－１∈A 或x＋１∈A,这样的集合A 的个数为 个． １０．对于－１≤a≤１,使不等式 １２ æ è ç ö ø ÷ x ２ ＋ax ＜ １２ æ è ç ö ø ÷ ２x＋a－１ 恒成立的x取值范围是 ． １１．已知lga,lgb,lgc成等差数列,且公差d＜０,a、b、c分别是Rt△ABC 的内角A、 B、C的对边,则sinC＝ ． １２．方程f(x)＝x的实根x０ 叫做函数f(x)的不动点,若函数f(x)＝ xa(x＋２) (a∈R且a≠０)有唯一不动点,数列{an}满足a１ ＝１０００,an＋１􀅰f １ an æ è ç ö ø ÷＝１ (n∈N∗),则a２００９ ＝ ． 三、解答题 １３．已知f(θ)＝asinθ＋bcosθ,θ∈ [０,π],且１与２cos２ θ２ 的等差中项大于１与 sin２θ２ 的等比中项的平方．求当a＝４,b＝３时,f(θ)的最大值及相应的θ值． １４．已知f(x)是定义在R上不恒为零的函数,且对于任意实数a,b,都有f(ab)＝ af(b)＋bf(a),且f(２)＝１． (１)求f １２ æ è ç ö ø ÷的值; (２)若bn ＝f(２－n),cn ＝ １２n＋２ ＋bn(n∈N∗),求证:c１＋c２＋􀆺＋cn ＞－３４． !"#$! ３０　 １５．对于定义域为[０,１]的函数f(x),如果同时满足以下三条:① 对任意的x∈ [０,１],总有f(x)≥０;②f(１)＝１;③ 若x１ ≥０,x２ ≥０,x１＋x２ ≤１,都有 f(x１＋x２)≥f(x１)＋f(x２)成立,则称函数f(x)为理想函数． (１)若函数f(x)为理想函数,求f(０)的值; (２)判断函数g(x)＝２x－１(x∈ [０,１])是否为理想函数,并给予证明; (３)若f(x)为理想函数,假设存在x０ ∈ [０,１],使得f(x０)∈ [０,１],且 f(f(x０))＝x０,求证:f(x０)＝x０． １６．已知α为锐角,且tanα＝ ２－１,函数f(x)＝x２tan２α＋xsin２α＋π４ æ è ç ö ø ÷,数列 {an}的首项a１ ＝ １２ ,an＋１ ＝f(an)． (１)求函数f(x)的表达式; (２)求证:an＋１ ＞an; (３)求证:１＜ １１＋a１ ＋ １１＋a２ ＋􀆺＋ １１＋an ＜２(n≥２,n∈N∗)． １５１　 由F(x)递增,∴ 当n＝１１时,F(an)min ＝ F(a１１);当n＝１２时,F(an)max ＝F(a１２)． １６．解:(１)∵a１ ＋a１ ＝２,　∴a１ ＝１, 又 ∵a１ ＋a３