第五届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

２５　 一、选择 第五届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １．满足 M ⊆ {a,b,c,d}且 M ∩ {a,b,c}＝ {a,b}的集合 M 的个数是(　　)个． A．１　　　　 B．２　　　　 C．３　　　　 D．４ ２．已知f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若f(x)－g(x)＝x２＋２x ＋３,则f(x)＋g(x)等于(　　)． A．－x２＋２x－３ B．x２＋２x－３ C．－x２－２x＋３ D．x２－２x＋３ ３．已知数列{an}中an ＝ ３２n－１１ ,记数列{an}的前n项和为Sn,则使Sn ＞０的n 的最小值为(　　)． A．１０ B．１１ C．１２ D．１３ ４．设α、β是锐角三角形的两个互不相等的内角,若x＝sin(α＋β),y＝cosα＋cosβ, z＝sinα＋sinβ,则(　　)． A．x＜y＜z B．x＞y＞z C．x＜z＜y D．y＜x＜z ５．已知集合 M ＝ {x|y＝lg(－x２＋３x－２)},N ＝ {m|(x２－x＋４)m ＜ (x２－ x＋４)a},若 M 是N 的真子集,则a的取值范围是(　　)． A．(２,＋∞) B．(－∞,２) C．[２,＋∞) D．(－∞,２] ６．已知f(x)＝ lg|x－２|,(x≠２), １, (x＝２)．{ 若关于x的方程f ２(x)＋bf(x)＋c＝０恰 有３个不同的实数解x１,x２,x３,则f(x１＋x２＋x３)等于(　　)． A．０ B．lg２ C．lg４ D．１ 二、填空题 ７．设[x]为不大于x的最大整数,集合A ＝ {x|x２－[x]－１＝０},B＝ {x|１２ ＜ ２x ＜４},则A ∩B等 于 ． ８．数列{an}中a１ ＝ ３５ ,an ＝２－ １an－１ ,则a２００９ ＝ ． ９．cot２０°cos１０°＋ ３sin１０°tan７０°－２cos４０°＝ ． １０．已知实数x,y满足(x－１)３＋２００９(x－１)＝－２,(y－１)３＋２００９(y－１)＝２, 则x＋y＝ ． １１．已知０＜x＜y＜１,a＝logx(x＋１),b＝logy(y＋１),则a,b的大小关系是 !"#$! ２６　 ． １２．在不考虑空气阻力的条件下,火箭的最大速度y(km/s)和燃料的质量x(kg)、 火箭(除燃料外)的质量m(kg)的函数关系是y＝４[ln(m＋x)－ln(２m)]＋ ２ln２,要使火箭的最大速度可达１２km/s,则燃料质量与火箭质量的比值是 ． 三、解答题 １３．若函数f(x)＝２asinxcosx－ ２a(sinx＋cosx)＋a＋b的定义域为[０,π２ ],值 域为[－５,１],求a,b． １４．已知函数f(x)对任意实数x,y都满足f(x＋y)＝f(x)􀅰f(y),且f(１)＝ １２． (１)当n∈N∗ 时,求f(n)的表达式; (２)设an ＝nf(n),n∈N∗ ,求证:a１＋a２＋􀆺＋an ＜２． ２７　 １５．设函数f(x)为R上的增函数,令F(x)＝f(x)－f(２－x)． (１)判断并证明F(x)在R上的单调性; (２)若F(x１)＋F(x２)＞０,判断x１＋x２ 与２的大小关系并证明; (３)若数列{an}的通项公式为an＝ n－１０n－１１．５ ,试问是否存在正整数n,使F(an) 取得最值?若存在,求出n的值;若不存在,请说明理由． １６．已知等差数列{an}满足a１＋a２n－１＝２n(n∈N∗),设Sn 是数列{ １ an }的前n项 和,记f(n)＝S２n－Sn(n∈N∗)． (１)求an; (２)比较f(n＋１)与f(n)(n∈N∗)的大小; (３)如果函数g(x)＝log２x－１２f(n)(x∈ [a,b])对一切大于１的正整数n,其 函数值都小于零,那么a,b应满足什么条件? !"#$! １４９　 ＝１６􀅰 １＋ １－ １２( )＋ １ ２ － １ ３( )＋􀆺[ ＋ １ n－１－ １ n( ) ]＝３２－ １６ n ＝Sn , 当n＝１时,T１ ＝S１ ＝１６, 综上可知,对于n∈N∗ 都有Tn ≤Sn,当且 仅当n＝１时等号成立． １６．解:(１)由方程f(x)＝x 有唯一解,可得 a＝ １２ ,从而f(x)＝ ２xx＋２ , f(x１)＝ １１００４ ,即 ２x１ x１ ＋２＝ １ １００４ , 故x１ ＝ ２２００７ , 又由已知f(xn)＝ ２xnxn ＋２＝xn＋１ ,xn ≠０⇒ １ xn＋１ ＝ １ xn ＋ １ ２ , ∴ 数列 １xn{ }是公差为 １ ２ 的等差数列,１ xn ＝ １x１ ＋ (n－１)􀅰１２ ＝ ２＋(n－１)x１ ２x１ , ∴xn ＝ ２x１(n－１)x１ ＋２＝ ２ n＋２００６． (２)将xn 代