第四届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

２２　 一、选择 第四届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) 题 １．若函数y＝lg(f(x)􀅰g(x))的定义域为集合A,函数y＝lg(f(x))的定义域为 集合B,y＝lg(g(x))的定义域为集合C,则A,B,C之间的关系是(　　)． A．A ＝B＝C　　 B．A ＝B∪C　　 C．A ＝B∩C　　 D．以上答案都不对 ２．已知f(x)是定义在R上的偶函数,且对任意x∈R都有f(x－１)＝f(x＋３), 当x∈ [４,６]时f(x)＝２x＋１,则 函 数 f(x)在 区 间 [－２,０]上 的 反 函 数 f－１(x)的值f－１(１９)为(　　)． A．log２１５ B．３－２log２３ C．５＋log２３ D．－１－２log２３ ３．曲线y＝２sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷cosx－π４ æ è ç ö ø ÷和直线y＝１２ 在y轴右侧的交点按横坐标从 小到大依次记为P１,P２,P３,􀆺,则|P２P４|等于(　　)． A．π B．２π C．３π D．４π ４．把数列{２n＋１}依次按一项、二项、三项、四项循环分为(３),(５,７),(９,１１,１３), (１５,１７,１９,２１),(２３),(２５,２７),(２９,３１,３３),(３５,３７,３９,４１),􀆺,则第１００个括 号内各数之和为(　　)． A．１９９０ B．１９９２ C．１９９４ D．１９９８ ５．函数f(x)＝x４＋ax３＋bx２＋cx＋d,a,b,c,d是实数,已知f(１)＝５,f(２)＝ １０,f(３)＝１５,则f(８)＋f(－４)＝ (　　)． A．２５００ B．不确定 C．２５４０ D．８６０ ６．对于函数f(x)＝ １＋x１－３x ,设f１(x)＝f(x),f２(x)＝f[f１(x)],􀆺,fn＋１(x)＝ f[fn(x)],令M ＝ {x|f２００８(x)＝－x,x ∈ R},则集合 M 中的元素个数为 (　　)． A．０个 B．１个 C．２个 D．３个 二、填空题 ７．若不等式x２＋２x＋a≥－y２－２y对任意实数x,y都成立,则实数a的取值范围 是　　　　　． ８．设函数f(n)＝k,其中n∈N,k是π＝３．１４１５９２６５３５􀆺 的小数点后的第n位数 字,例如f(２)＝４,则f{f􀆺f[f􀮩 􀮫􀮪􀪁􀪁 􀪁􀪁 ２００８个f (７)]}＝ 　　　　． ２３　 ９．函数y＝sinx的定义域为[a,b],值域为 －１,１２[ ],则b－a的最大值与最小值之 和为　　　　． １０．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋２)＝３f(x),当x∈ [０,２]时,f(x)＝x２ －２x,则当x∈ [－４,－２]时,f(x)的最小值是　　　　． １１．设函数f(x)＝ ２sinx＋π４ æ è ç ö ø ÷＋２x２＋x ２x２＋cosx 的最大值和最小值分别为M 和m,则 M＋m ＝ 　　　　． １２．编 辑 一 个 运 算 程 序:２∗２００６ ＝ １,(２n＋２)∗２００６ ＝ ３[(２n)∗２００６],则 ２００８∗２００６的输出结果为　　　　． 三、解答题 １３．已知集合A＝ {x||x－a|＜ax,a＞０},若f(x)＝sinπx－cosπx在x ∈A 时是单调函数,求a的取值范围． １４．已知α１ ＝arcsin１３ ,αn ＝αn－１＋ π ３ (n≥２),bn ＝sinαn,求b１＋b２＋􀆺＋b２００８ 的值． !"#$! ２４　 １５．已知函数f(x)对任意x∈R都有f(x)＋f(１－x)＝ １２． (１)求f １２ æ è ç ö ø ÷和f １n æ è ç ö ø ÷＋f n－１n æ è ç ö ø ÷ (n∈N∗)的值; (２)数列{an}满足:an ＝f(０)＋f １ n æ è ç ö ø ÷＋f ２n æ è ç ö ø ÷ ＋􀆺＋f n－１n æ è ç ö ø ÷＋f(１),数列 {an}是等差数列吗?请给予证明; (３)bn ＝ ４４an－１ ,Sn ＝３２－１６n ,Tn ＝b２１＋b２２＋b２３＋􀆺＋b２n,比较Tn 与Sn 的 大小． １６．设函数f(x)＝ xa(x＋２) ,方程f(x)＝x有唯一解,已知f(xn)＝xn＋１(n∈ N∗),且f(x１)＝ １１００４． (１)求数列{xn}的通项公式; (２)若an ＝ ４－４０１３xn xn ,且bn ＝ a２n＋１＋a２n ２an＋１an (n∈N∗),求Sn ＝b１＋b２＋􀆺＋ bn; (３)是否存在最小正整数m,使得对任意n∈N∗ ,有f(xn)＜ m２００８ 成立．若存 在,求出m 的值;若不存在,说明理由． １４７　 ∵a３,a５,an１,an２,􀆺,ant,􀆺 成等比数列, ∴ 公比