第四届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１９　 一、选择 第四届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １．已知p:x２－ax＋１≤０,q:ax２＋x－１＞０,若“p且q”为假命题,则(　　)． A．a＜－１４ 或a＞２　B．a＜２　　　　C．a≥２　　　　D．－２＜a≤－１４ ２．在数列{an}中,a１ ＝３,且对于任意大于１的正整数n,点(an,an－１)在直线y＝ x－６上,则a３－a５＋a７ 的值为(　　)． A．２７ B．６ C．８１ D．９ ３．集合A＝ {x|x＝cosnπ３ ,n∈Z}和集合B＝ {x|x＝sin２m－３６ π ,m∈Z}之 间的关系是(　　)． A．A ⫋B B．A ⫌B C．A ＝B D．A ≠B ４．设偶函数f(x)＝loga|x－b|在(－∞,０)上递增,则f(a＋１)与f(b＋２)的 大小关系是(　　)． A．f(a＋１)＝f(b＋２) B．f(a＋１)＞f(b＋２) C．f(a＋１)＜f(b＋２) D．不确定 ５．在 △ABC 中,如果４sinA＋２cosB＝１,２sinB＋４cosA＝３ ３,则 ∠C的大小是 (　　)． A．３０° B．１５０° C．３０°或１５０° D．６０°或１２０° ６．函数y＝f(x)与y＝g(x)有相同的定义域,且对定义域中任何x都有f(－x) ＋f(x)＝０,g(x)g(－x)＝１,若g(x)＝１的解集是{x|x＝０},则函数F(x) ＝ ２f (x) g(x)－１＋f (x)是(　　)． A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 二、填空题 ７．函数y＝ ２００８－x＋ x－２００７的值域为　　　　　． ８．数列１,２,２,３,３,３,４,４,４,４,５,􀆺􀆺 的第２００８项的值为　　　　　． ９．当x∈R时,令f(x)为sinx与cosx中较大或相等者,若f(x)的值域为[a,b], 则a＋b等于　　　　　． １０．设函数y ＝f(x)的反函数为y＝f－１(x),且y ＝f(２x－１)的图象过点 !"#$! ２０　 １ ２ ． ． ,１æ è ç ö ø ÷,则y＝f－１(x)的图象必过点　　　　　． １１．在直角坐标系中,O为坐标原点,P１(x１,y１),P２(x２,y２)是第一象限的两个点, 若１,x１,x２,４依次成等差数列,而１,y１,y２,８依次成等比数列,则 △OP１P２ 的 面积是　　　　　　 平方单位． １２．已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn ＝ １２ (n２＋n),bn ＝sin anπ ６ ,则数列{bn} 的前２００８项和为　　　　　． 三、解答题 １３．若a≥０,函数y＝cos２x－asinx＋b的最大值为０,最小值为－４,求a与b的 值． １４．设数列{an}是一个公差不为零的等差数列,a５ ＝６． (１)当a３ ＝４时,请在数列{an}中找一项am,m ＞５,使得a３,a５,am 成等比数 列; (２)当a３ ＝２时,正整数n１,n２,􀆺,nt,􀆺,且５＜n１ ＜n２ ＜ 􀆺 ＜nt ＜ 􀆺,使 得a３,a５,an１,an２,􀆺,ant,􀆺 成等比数列,求nt． ２１　 １５．已知f(x)＝２x ２＋bx＋c x２＋１ (b＜０)的值域为[１,３]． (１)求实数b,c的值; (２)判断函数F(x)＝lgf(x)在[－１,１]上的单调性,并给出证明; (３)若t∈R,求证:lg７５ ≤F æ è ç|t－１６|－|t＋ １ ６| ö ø ÷ ≤lg１３５． １６．设m ∈N∗ ,F(m)表示log２m 的整数部分． (１)求满足F(m)＝３的m 的值; (２)求F(２n＋１)＋F(２n＋２)＋􀆺＋F(２n＋１)的值; (３)求F(１)＋F(２)＋F(３)＋􀆺＋F(２n)的值． !"#$! １４５　 ∴t３ －５t＋２≥０⇒(t－２)(t２＋２t－１)≥０． ⇒t∈ (０,－１＋ ２]∪ [２,＋∞)∪ {１}． 故x∈ (２－４,２－１－２２]∪ {２－３}∪ [１,＋∞)． 三、解答题 １３．解:f(x)＝ a２ (１－cos２x)＋２sin２x＋b２ (１ ＋cos２x)－１ ＝a＋b２ ＋ １ ２ [(b－a)cos２x＋４sin２x]－１ ＝a＋b２ ＋ １ ２ (b－a)２＋１６sin(２x＋θ)－ １． ∴fmax (x)＝a＋b２ ＋ １ ２ (b－a)２＋１６－１, fmin (x)＝a＋b２ － １ ２ (b－a)２ ＋１６－１． １４．解:M:４－ １６－k＜x＜４＋ １６－k, N:１＜x＜３, P:２＜x＜８, 由若a∈ M,则a∈N ∪P 知 M ⊆N ∪P＝ {x|１＜x＜８}． 则 ４－ １６－k≥１, ４＋ １６－k≤８．{ 即 ７≤k＜１６, ０≤