第三届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１６　 一、选择题 １．已知数列{an}满足a１ ＝２,an＋１ ＝－(an＋１)－１,则a２００８ 等于(　　) 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) ． A．－３２ B．－ １ ３ C．１ D．２ ２．已知sin２００７x＋cos２００７x＝１,则对任意k＞０,必有(　　)． A．sinkx＋coskx ＝１ B．sinkx＋coskx ＞１ C．sinkx＋coskx ＜１ D．sinkx＋coskx 的值不确定 ３．集合 M ＝ {－１,０,１},N＝ {２,３,４,５,６},映射f:M →N,对任意的x∈M,都有 x＋f(x)＋xf(x)是奇数,这样的映射f的个数为(　　)． A．１２２ B．１５ C．５０ D．２７ ４．等差数列{an},{bn}的前n项的和分别为Sn,Tn,且Sn ＝４n－１,Tn ＝３n＋５, 则a１１ b８ ＝ (　　)． A．８３７０ B． ４１ ３５ C． ４３ ３６ D． 以上均不对 ５．对任意正整数k,定义f１(k)为k的各位数字之和的平方,对于n≥２,令fn(k)＝ f１(fn－１(k)),则f２００７(１１)＝ (　　)． A．１６ B．４９ C．１６９ D．２５６ ６．已知函数f(x)＝x２＋４ax＋２在区间[－１,３]上的最小值是１,则a＝ (　　) A．１２ 或－１１１２ B． １ ２ C．－ １ ２ D． １ ２ 或－１２ 二、填空题 ７．数列{an}中,a１ ＝ １２ ,a１＋a２＋􀆺 ＋an ＝n２an,则该数列的前２００７项的和是 　　　　． ８．若实数a,b(a≠b)满足f(x)＝－x＋ax＋b 的反函数F(x)有对称中心M,则点M 的坐标为　　　　　． ９􀆰若函数f(x)＝sinωx,x∈ －π３ ,π ３[ ],且|f(x)|≤ f π ３ æ è ç ö ø ÷ ,则ω的范围是 　　　　． １７　 １０􀆰 设m,n都是正整数,若关于x的方程m＋cosx＝n(m＋sinx)有实数解,则有 序数对(m,n)为　　　　　　　． １１􀆰设实数a使得关于x的一元二次方程５x２－５ax＋６６a－１７１５＝０的两个根均 是整数,则这样的a是　　　　． １２􀆰不等式 log２x＋ ２ log２x＋４ ≥１的解集为　　　　． 三、解答题 １３􀆰求函数f(x)＝asin２x＋４sinxcosx＋bcos２x－１的最大值和最小值． １４􀆰设给定三个非空数集 M ＝ {x|x２－８x＋k＜０}, N ＝ {x|x２－４x＋３＜０}, P ＝ {x|x２－１０x＋１６＜０}． 满足:若a∈ M,则a∈ (N ∪P),求实数k的取值范围． !"#$! １８　 １５􀆰 已知函数f(x－２)＝ax２－(a－３)x＋a－２(a为负整数),函数f(x)的图象 过点(m－２,０),m∈R,g(x)＝f[f(x)],F(x)＝pg(x)＋f(x)．是否存在实 数p(p＜０),使F(x)在(－∞,－３]上为减函数,且在[－３,０]上为增函数． １６􀆰正实数a０,b０,c０ 成等差数列,对n∈N＋, an ＝an－１＋bn－１＋cn－１, bn ＝４an－１＋３bn－１＋２cn－１, cn ＝４an－１＋２bn－１＋cn－１． ì î í ï ï ïï 已知方程a２００７x２＋b２００７x＋c２００７ ＝０有两个相等的实根,求 a０ c０ 的值． １４４　 高一试题(决赛 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 ) 一、选择题 １．D　 提示:a１ ＝２,a２ ＝－ １２＋１＝－ １ ３ ,a３ ＝－ １ － １３ ＋１ ＝－３２ ,a４ ＝－ １ － ３２ ＋１ ＝２, ２００８÷３＝６６９􀆺􀆺１,所以a２００８ ＝a１ ＝２． ２．A　 提示:１＝sin２００７x＋cos２００７x≤sin２x＋ cos２x＝１,则 sinx＝１, cosx＝０{ 或 sinx＝０, cosx＝１．{ 对任 意k,sinkx＋coskx ＝１． ３．C　 提示:当x＝－１时,f(x)可以取５个值; 当x＝０时,f(x)可以取２个值;当x＝１时, f(x)可以取５个值．共有５×２×５＝５０个映 射． ４．A　 提示:a１１ ＝S２１２１＝ ４×２１－１ ２１ ＝ ８３ ２１ ,b８ ＝ S１５ １５＝ ３×１５＋５ １５ ＝ １０ ３ ,a１１ b８ ＝ ８３ ２１× ３ １０＝ ８３ ７０． ５．D　 提示:f１(１１)＝４,f２(１１)＝１６,f３(１１) ＝４９,f４(１１)＝１６９,f５(１１)＝２５６,f６(１１) ＝１６９,􀆺,f２００７(１１)＝２５６． ６．D　 提示:f(x)＝ (x＋２a)２ ＋２－４a２,当 －２a≤－１,即a≥ １２ 时,fmin(x)