第三届高一试题（初赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１３　 一、选择 第三届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(初赛) 题 １．已知集合A＝ {x|log３(x２－２x－１５)＞２},B＝ {y|y２－２by－３b２ ≤０},若 A ∩B＝ ⌀,则实数b的取值范围是(　　)． A．R B．⌀ C．－∞,－４３ æ è ç ö ø ÷∪ (２,＋∞) D．－４３ ,２[ ] ２．函数f(x)＝ln５－x５＋x 在其定义域内(　　) A．既是奇函数又是增函数 B．既是奇函数又是减函数 C．既是偶函数又是增函数 D．既是偶函数又是减函数 ３．等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,且 Sn Tn ＝４n－５３n＋４ ,则a８ b８ ＝ (　　) A．２７３６ B． １１ １６ C．５５４９ D． 以上答案均不对 ４．若集合A＝ lgx,lgy,lgx＋yx æ è ç ö ø ÷{ }的一个子集是B＝{０,１},则A的最大元素的 最大可能值是(　　)． A．１ B．２lg３ C．lg１１ D．lg１５ ５．将正奇数集合从小到大按第n组有n２个奇数进行分组,则２００７位于第(　　)组 中． A．１３ B．１４ C．１５ D．１６ ６．若θ为锐角,且cosθ􀅰cosθ－π４ æ è ç ö ø ÷＝３ ２１０ ,则sinθ的值为(　　)． A．２２ B． ２ ３ C． ２ ５ ５ D． ３ ５ 二、填空题 ７．已知不等式ax＋b＞０的解集是{x|x＞３},则不等式bx＋a＞０的解集是 　　　　． ８．若函数y＝f(x)的定义域为[－２,２],F(x)＝f x＋１３ æ è ç ö ø ÷f x－１３ æ è ç ö ø ÷,则F(x)的 !"#$! １４　 定义域为　　　　． ９．函数y＝ (１＋２sinx)(１＋２cosx)在区间 －π４ ,π ６[ ]上的最大值与最小值之和是 　　　　． １０．集合A ＝ x|x∈Z且 ６００５－x∈Z{ }的所有元素的和为　　　　． １１．若关于x的不等式kx２－２|x－１|＋６k＜０的解集为空集,则k的取值范围是 　　　　． １２．设m 是正整数,若关于x的方程m ＋cosx＝２(m＋sinx)有实数解,则m ＝ 　　　　． 三、解答题 １３．函数f(x)＝－x２＋６(n≤x≤m)的最小值和最大值分别是n,m,且m ≠n, 求n,m． １４．设不等式sin２θ－(２ ２＋ ２a)sin(θ＋ π４ )＋２a＋３＜ ２ ２ cos(θ－π４ ) ,对于θ∈ ０,π２[ ]恒成立,求实数a的取值范围． １５　 １５．已知A ＝ {１,２,３},xi ∈A,i＝１,２,􀆺,２００７． 记:a１ ＝x１＋x２＋􀆺＋x２００７; a２ ＝x２１＋x２２＋􀆺＋x２２００７; an ＝xn１＋xn２＋􀆺＋xn２００７,(n∈N＋) 试用a１,a２ 表示an． １６．设函数f(x)＝ax＋３a(a＞０且a≠１)的反函数为y＝f－１(x),函数y＝g(x) 的图象与y＝f－１(x)的图象关于点(a,０)对称． (１)求函数y＝g(x)的解析式． (２)是否存在实数a,使得x∈ [a＋２,a＋３]时恒有|f－１(x)－g(－x)|≤１ 成立?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由． !"#$! １４１　 １２．解:(１)由题意,机器人 M１、M２、M３ 与检测 台的距离分别为２,１,３．故机器人 M１、M２、 M３ 按程序把各自生产的零件送达 M 处的 时间总和为y ＝ ２v ２ ＋ １v ＋ ３ v ３ ＝１４v． (２)设x为检测台M 的坐标,则机器人M１、 M２、M３ 与检测台 M 的距离分别为|x－ (－２)|、|x－１|、|x－３|,故机器人送交 检测台 M 的时间总和为:y ＝|x＋２|v ２ ＋ |x－１| v ＋ |x－３| v ３ ＝ １v (２|x＋２|＋|x －１|＋３|x－３|), 令f(x)＝２|x＋２|＋|x－１|＋３|x－３|, f(x)＝|２x＋４|＋|x－１|＋|３x－９| ≥|２x＋４＋x－１＋９－３x| ＝１２, 当x∈ [１,３]时,f(x)的最小值为１２,即送 检时间总和最短为１２ v． 此时,将检测台 M 设 置在直线上机器人 M２ 与M３ 之间的任何位 置(不含M２、M３ 的位置)都能使机器人M１、 M２、M３ 的送检时间总和最短． １３．解:设公差为d,an＋１ ＝a,则 S＝an＋１ ＋an＋２ ＋􀆺＋a２n＋１ ＝ (n＋１)a＋ １２n (n＋１)d, 故a＋ １２nd ＝ S n＋１ , 又 M ≥a２１ ＋a２n＋１ ＝ (a－nd)２ ＋a２ ＝ ４１０ a＋ １ ２nd( ) ２ ＋ １１０ (４a－３nd)２ ≥ ４１０ S n＋１( ) ２ , 所以|