第二届高一试题（决赛）-“枫叶新希望杯”全国数学大赛真题解析（高中版）

１０　 一、选择 第二届“枫叶新希望杯”全国数学大赛 高一试题(决赛) 题 １􀆰已知f(x)是定义在R上的不恒为０的函数,如果对于任意的a,b∈R,都满足 f(ab)＝af(b)＋bf(a),则函数f(x)(　　)． A．是奇函数 B．是偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 ２􀆰 已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥０时,f(x)＝x２－２x,则f(x) 在R上的表达式为(　　)． A．－x(x－２) B．x(|x|－２) C．|x|(x－２) D．|x|(|x|－２) ３􀆰已知f(a＋b)＝f(a)􀅰f(b),f(１)＝２,则f ２(１)＋f(２) f(１) ＋ f２(２)＋f(４) f(３) ＋ f２(３)＋f(６) f(５) ＋ f２(４)＋f(８) f(７) 的值为(　　)． A．１６ B．１８ C．３２ D．２４ ４􀆰 若f(x)与g(x)都是奇函数,且F(x)＝af(x)＋bg(x)＋２在(０,＋∞)上有 最大值８,则在(－∞,０)上,F(x)有(　　)． A．最大值８ B．最大值－８ C．最小值－６ D．最小值－４ ５􀆰设定义域、值域均为 R的函数y＝f(x)的反函数为y＝f－１(x),且f(x)＋ f(－x)＝２,则f－１(x－１)＋f－１(３－x)的值为(　　)． A．２ B．０ C．－２ D．２x－４ 二、填空题 ６􀆰已知g(x)＝－x２－３,f(x)是二次函数,且f(x)＋g(x)为奇函数,当x ∈ [－１,２]时,f(x)的最小值为１,则f(x)的表达式是 ． ７􀆰已知θ∈ ０,π２ æ è ç ö ø ÷,sinθ－cosθ＝ ５５ ,则cos２θ－sin２θ－１ １－tanθ 的值为 ． ８􀆰偶数数列分组如下(２),(４,６),(８,１０,１２),(１４,１６,１８,２０),􀆺 使得第n组中含有 n个数,那么第n组中的n个偶数的和为 ． ９􀆰设有两个命题:① 不等式|x|＋|x－１|＞m的解集是R;② 函数f(x)＝－(７ －３m)x是减函数．如果这两个命题中有且只有一个为真命题,则实数m 的范围 为 ． １１　 １０􀆰 数列{an}中,a１ ＝１,当n≥２时,前n项和Sn 满足S２n ＝an Sn－ １ ２ æ è ç ö ø ÷,设bn ＝ Sn ２n＋１ ,则数列{bn}的前n项和Tn ＝ ． 三、解答题 １１􀆰已知奇函数f(x)在(－∞,０)∪ (０,＋∞)上有意义,且在(０,＋∞)上是增函 数,f(１)＝０,又有函数g(θ)＝sin２θ＋mcosθ－２m,θ∈ ０,π２[ ],若集合M ＝ {m|g(θ)＜０},集合N ＝ {m|f[g(θ)]＜０}． (１)求f(x)＜０的解集; (２)求 M ∩N． １２􀆰如图,三个机器人 M１,M２,M３ 和检测台 M 位于同一直线上,三个机器人需把 各自生产的零件送到 M 处进行检测,送检程序规定:当 M１ 把零件送到 M 处 时,M２ 立刻自动出发送检,当M２ 把零件送到M 处时,M３ 立刻自动出发送检, 设 M２ 的送检速度为v,且送检速度是 M１ 的２倍,M３ 的３倍．(１)求三台机器 人 M１、M２、M３ 把各自生产的零件送到检测台 M 处的时间总和;(２)现要求 M１、M２、M３ 送检时间总和必须最短,请你找出检测台 M 在该直线上的位置 (M 与M１、M２、M３ 均不重合)． !"#$! １２　 １３􀆰给定正整数n和正数M,对于满足条件a２１＋a２n＋１ ≤M 的所有等差数列a１,a２, a３,􀆺,试求S＝an＋１＋an＋２＋􀆺＋a２n＋１ 的最大值． １４􀆰设P 是一个由数字１,２,３,４,５,６,７,８,９组成的２n位正整数,并同时满足如下 两个条件:(１)数字１,２,􀆺,n在P 中各出现两次;(２)每两个相同的数字i(i＝ １,２,􀆺,n)之间恰有i个数字,此时我们称这样的正整数P为“好数”．例如,当 n＝３时,P可以是３１２１３２．试确定满足条件的正整数n的值,并各写出一个相 应的好数P． １３９　 得(n－１)an ＝Sn－１ ＋(n－１)n, 作差得an＋１ －an ＝２(n≥２)． 当n＝１时,a２ ＝S１ ＋２＝４, 即a２ －a１ ＝２, 所以对于正整数n都有an＋１ －an ＝２, ∴{an}是等差数列, ∴an ＝a１ ＋(n－１)d＝２n． (２)Sn ＝n(n＋１),故bn ＝n (n＋１) ２n , ∴bn＋１ －bn ＝ (n＋１)(２－n) ２n＋１ , 当n≥３时,bn＋１ ＜bn, 又b１ ＝１,b２ ＝b３ ＝ ３２ , ∴ 数列{bn}中最大值是b２ ＝b３ ＝ ３２． 故t的最小值为３２． １３．解:M ＝N 得