27.2.3相似三角形应用举例 教案 2022－2023学年人教版数学九年级下册

27.2 相似三角形 27.2.3相似三角形应用举例 一、教学目标 【知识与技能】 1.应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题; 2.应用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 【过程与方法】 经历应用相似三角形的有关知识去解决简单的实际问题的全过程,培养学生的应用意识和把实际问题转化为数学问题并用数学方法去分析、解决实际问题的能力. 【情感态度与价值观】 1.通过著名的科学家如何测量神秘的金字塔的高度来激发学生学数学的兴趣,使全体学生积极参与探索,体验成功的喜悦; 2.力求培养学生科学,正确的数学观,体现探索精神. 二、课型 新授课 三、课时 1课时 四、教学重难点 【教学重点】 运用三角形相似的知识计算不能直接测量物体的长度和高度. 【教学难点】 通过审题、思考后,如何在实际问题中抽象出相似三角形的模型. 五、课前准备 教师:课件、直尺、三角板. 学生:直尺、三角板. 六、教学过程 (一)导入新课 教师问:在前面,我们学过哪些判定三角形相似的方法?相似三角形的性质是什么? 学生答:1.相似三角形的判定: (1) 通过平行线;(2) 三边成比例;(3) 两边成比例且夹角相等;(4) 两角分别相等. 2.相似三角形的性质: (1)对应边成比例,对应角相等; (2)相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比; (3)相似三角形周长的比等于相似比; (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方. 教师问:观察下列图片,你会利用相似三角形知识解决一些不能直接测量的物体(如塔高、河宽等)的长度或高度的问题吗? 出示课件3~7,学生思考解决方法. 教师提示:利用相似三角形可以解决一些不能直接测量的物体的高度及两物之间的距离问题. (二)探索新知 知识点1 利用相似三角形测物体 古希腊数学家、天文学家泰勒斯利用相似三角形的原理,测量金字塔的高度. 考点1 利用相似三角形测物体的高 例 据史料记者,古希腊数学家、天文学家泰勒斯曾利用相似三角形的原理,在金字塔影子顶部立一根木杆,借助太阳光线构成两个相似三角形,来测量金字塔的高度. 如图,如果木杆EF长2m,它的影长FD为3m,测得OA为201m,求金字塔的高度BO. 师生共同分析:由于太阳离我们非常遥远,因此可以把太阳光近似的看成平行光线. 解:太阳光是平行光线,因此∠BAO=∠EDF, 又∠AOB=∠DFE=90°, ∴△ABO∽△DEF, ∴, ∴(m). 因此金字塔的高度为134m. 教师问:利用太阳光测量物体的高度一般需要注意哪些问题 学生分组讨论后教师总结:在同一时刻,太阳光下不同物体的高度之比与其影长之比相等.利用太阳光测量物体的高度需要注意: (1)由于太阳相对于地面的位置在不停地改变,影长也随着太阳位置的变化而发生变化,因此要在同一时刻测量影长. (2)被测物体的底部必须在可以到达的地方,否则,测不到被测物体的影长,从而计算不出物体的高. (3)表达式:物1高:物2高=影1长:影2长. 出示课件12,学生独立思考后一生板演,教师订正. 教师问:还有其他测量方法吗? 师生共同分析:由△ABO∽△AEF得出故OB= 教师强调:测量不能到达顶部的物体的高度,也可以用“利用镜子的反射测量高度”的原理解决. 学生独立思考后口答,教师订正. 考点2 利用相似三角形测物体的宽 例 如图,为了估算河的宽度,我们可以在河对岸选定一个目标点P,在近岸取点Q和S,使点P、Q、S共线且直线PS与河垂直,接着在过点S且与PS垂直的直线a上选择适当的点T,确定PT与过点Q且垂直PS的直线b的交点R.如果测得QS=45m,ST=90m,QR=60m,求河的宽度PQ. 学生独立思考后师生共同解决: 解:∵∠PQR=∠PST=90°,∠P=∠P, ∴△PQR∽△PST, ∴, 即,,PQ×90=(PQ+45)×60, 解得PQ=90(m). 因此,河宽大约为90m. 教师问:测量前面例题中的河宽,你还有哪些方法?(出示课件17) 学生分组讨论后教师强调:利用相似测量不能直接到达的两点间的距离,关键是构造相似三角形,构造的相似三角形可以为“A”字型,也可以为“X”字型,并测量出必要的数据,然后根据相似三角形的性质求出所要求的两点间的距离.该例题还可参照课本P41页练习2设计测量方案. 出示课件18,学生独立思考后一生板演,教师订正. 教师强调:测量如河宽等不易直接测量的物体的宽度,常构造相似三角形求解. 考点3 利用相似三角形测量有遮挡的物体 例 已知左、右并排的两棵大树的高分别是AB=8m和CD=12m,两树底部的距离BD=5m.一个人估计自己眼睛距地面1.6m.她沿着正对这两棵树的一条水平直路l从左向右前进,当她与左边较低的树的距离小于多少时,就不能看到右边较高的树的顶