6.4.3 余弦定理、正弦定理 第3课时-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

6.4.3余弦定理、正弦定理 第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 1 一、复习回顾 1、正弦定理 2、余弦定理 在实践中，经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题。解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量。 具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案，下面我们通过几道例题来说明这种情况。 需要注意的是，题中为什么要给出这些已知条件，而不是其他条件。事实上，这些条件往往隐含着相应测量问题在某种特定情景和条件限制下的一个测量方案，而且是这种情景与条件限制下的恰当方案。 二、可到达点与不可到达点之间的距离 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 测量者在A的同测，在所在的河岸边选定一点C， A B C α β a 测出AC的距离是am， ∠BAC＝α， ∠ACB＝β, 求A、B两点间的距离. 例1、设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。 A B C α β a 解：根据正弦定理，得 A B 三、不可到达的两点之间的距离 例2、设A、B两点在河的对岸，要测量两点之间的距离。 在所在的河岸边选定一点C，用例1的方法，可以计算出C到A、B两点的距离. C α 测出∠ACB＝α, 用余弦定理可以求A、B两点间的距离. A B C α 例2、设A、B两点在河的对岸，要测量两点之间的距离。 在所在的河岸边选定两点C，D，测出CD的距离是am， β a 连接AD、BD， ∠BDC＝γ， 测出∠ACD＝β, D δ γ ∠ADB＝δ， 例2、设A、B两点在河的对岸，要测量两点之间的距离。 A B C α β a D δ γ 例2、设A、B两点在河的对岸，要测量两点之间的距离。 A B C α β a D δ γ 例2、设A、B两点在河的对岸，要测量两点之间的距离。 A B C α β a D δ γ 可以求A、B两点间的距离. 早在1671年 , 两位法国天文学家为了测量地球与月球之间的距离 , 利用几乎位于同一子午线的柏林与好望角 , 测量计算出α , β的大小和两地之间的距离 , 从而算出了地球与月球之间的距离约为385400km. A B 如何测量地球与月亮之间的距离? 解: 需要测量的数据有： A点到M，N点的俯角α1，β1； B点到M，N点的俯角α2，β2； A，B的距离d(如图所示)． 例4 AB是底部B不可到达的一个建筑物，A为建筑物 的最高点，设计一种测量建筑物高度AB的方法。 分析：由于建筑物的底部B是不可到达的，所以不能直接测量出建筑物的高。 四、测量底部不能到达的物体的高度 由解直角三角形的知识，只要能测出一点C到建筑物的顶部A的距离CA,并测出由点C观察A的仰角α，就可以计算出建筑物的高。 所以应该设法借助解三角形的知识测出CA的长。 解：选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上。 由在H,G两点用测角仪器测得A的仰角分别是α，β，CD=a,测角仪器的高是h. 在⊿ACD中，根据正弦定理可得 例5 在山顶铁塔上B处测得地面上一 点A的俯角α，在塔底C处测得A 处的俯角β. 已知铁塔BC部分的 高为hm，求出山高CD. 分析：根据已知条件，应该设法计 算出AB或AC的长. 解：在⊿ABC中， 五、测量顶部不能到达的物体的高度 ∠BCA=900+β, ∠ABC=900-α, ∠BAC=α-β, ∠BAD=α. 根据正弦定理， 例6 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15o的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25o的方向上，仰角8o ，求此山的高度CD. 分析：要测出高CD,只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。 根据已知条件，可以计算出BC的长。 解：在⊿ABC中 ∠A=15°, ∠C=25°̶̶ 15°=10°. 例6 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北150的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北250的方向上，仰角80 ，求此山的高度CD. 解：在⊿ABC中 ∠A=15°, ∠C=25°̶̶ 15°=10°. 根据正弦定理， CD=BCtan∠DBC≈BCtan8°≈1047(m) 答：山的高度约为1047米。 B D A C 5km 150 25° 8° （ 例7 位于某海域A处的甲船获悉, 在其正东方向相距20 n mile 的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救 . 甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船南偏西30⁰, 且与