6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

6.4.3余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 (1)已知两边及其夹角，求第三边。 (2)已知三边求三个角； 1、余弦定理： 2、余弦定理推论: 一、复习回顾 3、余弦定理可以解决的的问题： 探究！ 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及其夹角、已知三边直接解三角形的公式 . 如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 在初中，我们得到了三角形中等边对等角的结论 . 实际上，在三角形中有大边对大角，小边对小角的边角关系. 从量化的角度看，可以将这个边、角关系转化为： 在∆ABC中，设A的对边为a，B的对边为b，求A，B，a，b之间的定量关系. 如果得出了这个定量关系，那么就可以直接解决“在∆ABC中, 已知A, B, a，求b”的问题. 我们从直角三角形的边、角关系的分析入手. 如图，在Rt∆ABC中， ∠C是最大的角，所对的斜边c是最大的边，要考虑边长之间的数量关系，就涉及到了锐角三角函数. A B C c b a 两等式间有联系吗？ 思考: 对于一般的三角形 , 以上关系式是否仍然成立? 根据正弦函数的定义， 二、三角形中边角关系的探究 因为涉及三角形的边、角关系，所以仍然采用向量方法研究。 思考？ 向量的数量积运算中出现了角的余弦，而我们需要的是角的正弦。如何实现转化？ 我们希望获得△ABC中的边a , b , c与它们所对角A, B, C的正弦之间的关系式。在向量运算中，两个向量的数量积与长度、角度有关，这就启示我们可以用向量的数量积来研究。 下面先研究锐角三角形的情形. 仿照上述方法，同样可得 O C' c b a C B A 已知∆ABC, 作外接圆O, 过B作直径BC', 连AC', 正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角 的正弦的比相等. 即 正弦定理给出了任意三角形中三条边与它们各自对应角的正弦之间的一个定量关系 . 三、正弦定理 利用正弦定理，不仅可以解决“已知两角和一边，解三角形”的问题 ；还可以解决“已知两边和其中一边的对角，解三角形”问题. 定理变式：   解: 由三角形内角和定理得C=120⁰. 因为 c>b，B=30⁰ ， 所以 30⁰<C <180⁰， 所以 C=45⁰，或C=135⁰ (1)当 C=45⁰时，A=105⁰ (2)当 C=135⁰时，A=15⁰ 练 1 在△ABC 中，已知c = 10, A = 45。, C = 30。，解 三角形.（即求出其它边和角） 解： B A C b c a 根据三角形内角和定理， 解：由正弦定理 得 所以 B＝60°, 或 B＝120° 当 时 B＝60° C=90° C=30° 当B＝120o时 B 16 300 A B C 16     因为b>a，所以 B>A， 解： (2)已知两边和其中一边的对角，可以求出 三角形的其他的边和角。(此时可能有一 解、二解、无解） 四、归纳小结: 1、正弦定理 2、主要应用 (1) 已知两角及任意一边，可以求出其他 两边和另一角； 谢谢光临指导！ 例 判断下列情况下三角形有几组解？ 60° A B C b （3） b＝20，A＝60°，a＝15.     60° A 20 B C 一解 60° A B C b 一解 60° A B C b 无解 a A C b a<bsinA 无解 a a=bsinA 一解 A C b bsinA< a < b 两解 a A C b B B1 B2 B A C b a 一解 a bsinA bsinA A B a b C A B a b C A B a b C a<b 无解 a=b 无解 a>b 一解 a<bsinA a=bsinA bsinA<a<b ab ab a>b 无解 一解 两解 一解 无解 一解 A C 条件 图形 解的 个数 A C B B C A A C D B2 B1 C A D A B C D $