6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

6.4.3余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 一个三角形含有各种各样的几何量，例如三边边长、三个内角的度数、面积等，它们之间存在着确定的关系。 例如，我们得到过勾股定理、锐角三角函数，这是直角三角形中的边、角定量关系。 对于一般三角形，我们已经定性地研究过三角形的边、角关系得到了SSS, SAS, ASA, AAS等判定三角形全等的方法。这些判定方法表明，给定三角形的三个角、三条边这六个元素中的某些元素，这个三角形就是唯一确定的。 那么三角形的其他元素与给定的某些元素有怎样的数量关系？下面我们利用向量方法研究这个问题。 我们知道，两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等。这说明，给定两边及其夹角的三角形是唯一确定的。也就是说，三角形的其它边、角都可以用这两边及其夹角来表示。那么，表示的公式是什么？ 探究！ 在△ABC中 ，三个角A , B , C所对的边分别是a, b, c, 怎样用a, b和C表示c？ 因为涉及的是三角形的两边长和它们的夹角，所以我们可以考虑用向量的数量积来研究.     设 由向量减法的三角形法则得 同理可得： C B A c a b 一、余弦定理 三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。即 应用余弦定理，我们就可以从已知的两边和夹角计算出三角形的第三边. 余弦定理指出了三角形的三条边与其中一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题 . 怎么确定呢？ 二、余弦定理的推论 C B A c a b 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判断三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 利用推论，可以由三角形三边直接计算出三角形的三个角. 从余弦定理及其推论可以看出，三角函数把几何中关于三角形的定性结论变成了可定量计算的公式. 若是C锐角，则： 若是C钝角，则： 思考？勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系 , 余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系 . 你能说说这两个定理之间的关系吗？ 如果△ABC中有一个角是直角, 例如C=90⁰，这时cosC=0. 由余弦定理可得c2=a2+b2，这就是勾股定理. 由此可见，余弦定理是勾股定理的推广，而勾股定理是余弦定理的特例 一般地, 三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫做三角形的元素. 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形. 三、余弦定理的应用 利用余弦定理，可以解决以下问题： (1)已知两边及夹角，求第三边和其他两个角。 C B A c a b 利用余弦定理，可以解决以下问题： (2)已知三边，求三个角； 解：由余弦定理得   解 求最大的内角。 最大内角C为120°. 四、归纳小结: 余弦定理可以解决的有关三角形的问题： 余弦定理： 推论: 1、已知两边及其夹角，求第三边和其他两个角。 2、已知三边求三个角； 3、判断三角形的形状. $