6.4.1 平面几何中的向量方法-2022-2023学年高一数学同步教学课件（人教A版2019必修第二册）

6.4.1平面几何中的 向量方法 一、复习回顾： 3、向量数量积的性质 1、向量共线充要条件 B O A P 由于向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角都可以由向量的线性运算及数量积表示出来，因此，利用向量方法可以解决平面几何中的一些问题。 3 证明：因为M，N是AB，AC边上的中点， A B D C E 图6.4-1 A B D C E 图6.4-2 例1 已知:DE是△ABC的中位线，用向量的方法 证明: 平面几何经常涉及距离(线段长度)、夹角问 题，而平面向量的运算，特别是数量积主要涉及 向量的模以及向量之间的夹角，因此我们可以用 向量方法解决部分几何问题。 解决几何问题时，先用向量表示相应的点、 线段、夹角等几何元素； 然后通过向量的运算， 特别是数量积来研究点、线段等元素之间的关 系； 最后再把运算的结果“翻译”成几何关系， 得几何问题的结论. 这就是用向量方法解决平面几何问题的三步曲. (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 简述： 形到向量 向量的运算 向量和数到形 6 A B C D 例2： 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 7 A B C D 例2： 平行四边形是表示向量加法与减法的几何模型。如图， 你能发现平行四边形对角线的长度与两条邻边长度之间的关系吗？ 8 例3 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、DC 边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T 两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B C D E F R T 分析：我们猜想： AR=RT=TC 由于R、T是对角线 AC上的两点，要证: AR=RT=TC 只需分别找到AR、RT、TC与AC 的关系即可. 9 例3 如图， ABCD中，点E、F分别是AD 、DC 边的中点，BE 、 BF分别与AC交于R 、 T两点，你能发现AR 、 RT 、TC之间的关系吗？ A B C D E F R T (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究几何元素 之间的关系: (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 所以 AR=RT=TC 10 例4、已知：AD、BE、CF是△ABC的三条中线； 求证：AD、BE、CF交于一点． 证明：如图AD、BE相交于点G，联结DE． A B C D E G F             因此C、G、F三点在同一直线上． 所以，AD、BE、CF交于一点．     例4、用向量法证明：三角形三条高线交于一点． A B C D E F 证明：设H是高线BE、CF的交点，             所以，三角形三条高线交于一点． 已知：∆ABC中，AD⊥BC, BE⊥AC, CF⊥AB 求证：三条高线AD, BE, CF交于一点． H     例5 如图，在等腰△ABC中，D、E分别是两腰AB 、AC的中点，若CD⊥BE，求∠A的余弦值. A B C D E （3）把运算结果“翻译”成几何元素。 归纳小结： 向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示 问题中涉及的几何元素，将平面几何问题 转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系， 如距离、夹角等问题； 14 再见 $