2023年中考数学专题训练：圆的综合压轴题（三角形的内切圆与圆心）

2023年中考数学专题训练:圆的综合压轴题(三角形的内切圆与圆心) 一、综合题 1.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8. (1)尺规作图:作三角形ABC的内切圆⊙O,⊙O分别与AB、BC、CA相切于点D、E、F保留作图痕迹,不写作法. (2)求⊙O的半径r. 2.如图,点 是 的内心, 的延长线和 的外接圆 相交于点 ,过 作直线 . (1)求证: 是 的切线; (2)求证: ; (3)若 , ,求 的半径. 3.我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了“三斜求积术”,三斜即指三角形的三条边长,可以用该方法求三角形面积.若改用现代数学语言表示,其形式为:设, ,为三角形三边, 为面积,则 ① 这是中国古代数学的瑰宝之一. 而在文明古国古希腊,也有一个数学家海伦给出了求三角形面积的另一个公式,若设 (周长的一半),则 ② (1)尝试验证.这两个公式在表面上形式很不一致,请你用以5,7,8为三边构成的三角形,分别验证它们的面积值; (2)问题探究.经过验证,你发现公式①和②等价吗?若等价,请给出一个一般性推导过程(可以从①②或者②① ; (3)问题引申.三角形的面积是数学中非常重要的一个几何度量值,很多数学家给出了不同形式的计算公式.请你证明如下这个公式:如图, 的内切圆半径为,三角形三边长为, ,仍记 , 为三角形面积,则 . 4.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=45°,BC=12cm,半圆O的直径DE=12cm.点E与点C重合,半圆O以2cm/s的速度从左向右移动,在运动过程中,点D、E始终在BC所在的直线上.设运动时间为x(s),半圆O与△ABC的重叠部分的面积为S(cm2). (1)当x=0时,设点M是半圆O上一点,点N是线段AB上一点,则MN的最大值为 :MN的最小值为 . (2)在平移过程中,当点O与BC的中点重合时,求半圆O与△ABC重叠部分的面积S; (3)当x为何值时,半圆O与△ABC的边所在的直线相切? 5.如图,在△ABC中,E是内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D. (1)求证:DB=DC; (2)若AB=AC,∠BAC=80°,AD=3.求 的长. 6.如图1,经过原点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴的另一个交点为点C;与双曲线y= 相交于点A,B;直线AB与分别与x轴、y轴交于点D,E.已知点A的坐标为(﹣1,4),点B在第四象限内且到x轴、y轴的距离相等. (1)求双曲线和抛物线的解析式; (2)计算△ABC的面积; (3)如图2,将抛物线平移至顶点在原点上时,直线AB随之平移,试判断:在y轴的负半轴上是否存在点P,使△PAB的内切圆的圆心在y轴上?若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 7.在△ABC中,∠C= ,⊙O是△ABC的内切圆,⊙P分别与CA的延长线、CB的延长线以及直线AB均相切,⊙O的半径为m,⊙P的半径为n. (1)当 =90°时,AC=6,BC=8时,m= ,n= . (2)当 取下列度数时,求△ABC的面积(用含有m、n的代数式表示,并直接写出答案).①如图, =90°;②如图, =60°. 8.如图,以 的直角边 为直径的 交斜边 于点 ,过点 作 的切线与 交于点 ,弦 与 垂直,垂足为 . (1)求证: 为 的中点; (2)若 的面积为 ,两个三角形 和 的外接圆面积之比为 ,求 的内切圆面积 和四边形 的外接圆面积 的比. 9.如图①,P为△ABC内一点,连接PA、PB、PC,在△PAB、△PBC和△PAC中,如果存在一个三角形与△ABC相似,那么就称P为△ABC的自相似点. (1)如图②,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC>∠A,CD是AB上的中线,过点B作BE丄CD,垂足为E.试说明E是△ABC的自相似点; (2)在△ABC中,∠A<∠B<∠C. ①如图③,利用尺规作出△ABC的自相似点P(写出作法并保留作图痕迹); ②若△ABC的内心P是该三角形的自相似点,求该三角形三个内角的度数. 10.有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等邻边互补四边形. (1)如图1,在等邻边互补四边形ABCD中,AD=CD,且AD//BC, BC=2AD,求∠B的度数; (2)如图2,四边形ABCD内接于圆O,连结DO交AC于点E (不与点O重合),若E是AC的中点,求证:四边形ABCD是等邻边互补四边形; (3)在(2) 的条件下,延长DO交BC于点F,交圆0于点G,若弧BG=弧AB, tan∠ABC= ,AC=12,求FG的长; (4)如图3,四边形ABCD内接于圆O,AB=BC, BD为圆0的直径,连结AO并延长交BC于点E,交圆0于点F,连结FC,设tan∠BAF=x, ,求y与x之间的函数关系式