1.2.1等差数列的概念及其通项公式(2) 课件-2022-2023学年高二下学期数学北师大版（2019）选择性必修第二册

2.1 等差数列的概念与通项公式 (第2课时) 温故知新 变形为 1 2 3 4 O n an 1 2 3 4 O n an a1-d 1 2 3 4 O n an a1 d>0 d<0 d=0 探究1 等差数列的函数特性 在首项为a1,公差为d的等差数列{an}中,对于an=a1+(n-1)d=dn+(a1-d),可将an记作f(n),它是定义在正整数集(或其子集)上的函数.其图象是直线y=dx+(a1-d)上的一些等间隔的点,这些点的横坐标是正整数,其中公差d是该直线的斜率,即自变量每增加1,函数值增加d. 当d>0时,数列{an}为递增数列; 当d<0时,数列{an}为递减数列; 当d=0时,数列{an}为常数列. (1)求这个数列的通项公式; (2)画出这个数列的图像; (3)判断这个数列的单调性. 试一试 已知(1,1),(3,5)是等差数列 图像上的两点. 解得 于是 解 (1)由于(1,1),(3,5)是等差数列 图像上的两点,所以 (2)图像是直线 上一些等间隔的点,如右图所示. 1 2 3 4 O n an 5 1 2 3 4 5 6 7 (3)单调递增.直线 的图像单调递增 探究2 如果在a与b之间插入一个数A,使a,A,b成等差数列,那么 A 叫作a与b的等差中项.A= . 思考 若-2,x,6成等差数列,则实数x的值是什么? 提示:∵x-(-2)=6-x,∴x= =2. 思考 是否任何两数都有等差中项?已知两数m,n,它们的等差中项唯一吗? 提示:是;唯一. 【例1】 在-1与7之间顺次插入三个数a,b,c,使这五个数成等差数列,求此数列. 变式 一个木制梯形架的上、下两底边分别为33cm,75cm,把梯形的两腰各6等分,用平行木条连接各对应分点,构成梯形架的各级.试计算梯形架中间各级的宽度. 解 记梯形架自上而下各级宽度所构成的数列为{an}, 则,由梯形中位线的性质,易知每相邻三项均成等差数列, 从而{an}成等差数列, 依题意有: 答 梯形架中间各级的宽度自上而下依次是40cm,47cm, 54cm,61cm,68cm. 【例2】 (1)已知三个数成等差数列,其和为9,前两项之积为后一项的6倍,求这三个数; (2)四个数成递增等差数列,中间两数的和为2,首末两项的积为-8,求这四个数. (1)解:设这三个数依次为a-d,a,a+d, 故这三个数为4,3,2. (2)解法一:设这四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,依题意得,2a=2, 且(a-3d)(a+3d)=-8,即a=1,a2-9d2=-8,所以d2=1,所以d=1或d=-1. 又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=1,故所求的四个数为-2,0,2,4. 解法二:设这四个数为a,a+d,a+2d,a+3d,依题意得,2a+3d=2,且a(a+3d)=-8, 又四个数成递增等差数列,所以d>0,所以d=2,a=-2.故所求的四个数为-2,0,2,4. 【变式训练2】 已知四个数成等差数列,它们的和为26,中间两项的积为40,求这四个数. 解:设这四个数分别为a-3d,a-d,a+d,a+3d,根据题意,得 探究3 思考 对于等差数列{an},首项为a1,公差为d,回答下列问题: (1)a10+a20与a14+a16是什么关系? (2)a6,a10,a14成等差数列吗? (3)2am=am-1+am+1(m∈N+,m>1)是否恒成立? 提示:(1)相等.(2)成等差数列.(3)是. 等差数列的项与序号的性质 ①两项关系 通项公式的推广:an=am+(n-m)d (m,n∈N+). ②多项关系 项的运算性质:若m+n=p+q(m,n,p,q∈N+),则am+an=ap+aq. 特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N+),则am+an=2ap . 1.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若{an}为等差数列,且m+n=p,则am+an=ap.( ) (2)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.( ) (3)等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.( ) (4)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+an+ap=3at.( ) 2.在等差数列{an}中,若m,n,p,q,…成等差数列,那么am,an,ap,aq,…也成等差数列吗?若成等差数列,公差是什么? 试一试.判断正误.(正确的画√,错误的画×) (1)若{an}为等差数列,且m+n=p,则am+an=ap.( ) (2)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq,则m+n=p+q.( ) (3)等差数列去掉前面连续的若干项后,剩下的项仍构成等差数列.( ) (4)在等差数列{an}中,若m+n+p=3t,则am+a