专题06 方程思想在勾股定理中应用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（人教版）

专题06方程思想在勾股定理中应用 专题说明 勾股定理是几何中最重要的定理之一， 它也是直角三角形的一条重要性质.同时由勾股定理及其逆定理，能够把形的特征转化成数量关系，它把形与数密切地联系起来，因此，它在理论上也有重要地位.方程思想是初中数学中一种基本的数学思想方法.方程可以清晰的反应已知量和未知量之间的关系，架起沟通已知量和未知量的桥梁.本节课为后续进一步学习运用方程思想解决问题起着铺垫作用。 【典例分析】 【典例1】（2021秋•峨边县期末）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，求CD的长． 【变式1-1】（2022秋•新泰市期末）如图所示，有一个直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，你能求出CD的长吗？ 【变式1-2】（2021秋•景德镇期中）如图，△ABC的三边分别为AC＝5，BC＝12，AB＝13，将△ABC沿AD折叠，使AC落在AB上． （1）试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）求折痕AD的长． 【典例2】如图，在锐角△ABC中，已知AB＝15，BC＝14，AC＝13，AD⊥BC于D点，求AD的长． 【变式2-1】（2021秋•象山县期中）如图，在△ABC中，AB＝14，BC＝15，AC＝13，AD⊥BC． （1）求BD的长． （2）求△ABC的面积． 【变2-2】已知：如图，△ABC中，AB＝10，BC＝9，AC＝17，求BC边上的高． 【典例3】（2021秋•广南县期末）如图，一棵竖直生长的竹子高为8米，一阵强风将竹子从C处吹折，竹子的顶端A刚好触地，且与竹子底端的距离AB是4米．求竹子折断处与根部的距离CB． 【变式3-1】（2021春•安徽月考）《九章算术》卷九“勾股”中记载：今有立木，系索其末，委地四尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有4尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木根部8尺处时绳索用尽，问绳索长是多少？根据题意求出绳索长． 【变式3-2】（2022春•十堰月考）《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一其中记载了这样一个问题：“今有立木，系索其末，委地三尺，引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”译文：今有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺．牵着绳索（绳索头与地面接触）退行，在距木柱根部8尺处时绳索用尽．问绳索长是多少尺？ 【夯实基础】 1．（2022秋•路北区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE是BC的垂直平分线，∠A＝90°，AD＝4，则 CD＝（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 2．（2021秋•禅城区期末）如图有一个水池，水面BE的宽为16尺，在水池的中央有一根芦苇，它高出水面2尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，则这个芦苇的高度是（　　） A．26尺 B．24尺 C．17尺 D．15尺 3．（2020秋•槐荫区期末）《九章算术》是中国古代的数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读kun，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1、2（图2为图1的平面示意图），从点O处推开双门，双门间隙CD的长度为2寸，点C和点D到门槛AB的距离都为1尺（1尺＝10寸），则AB的长是（　　） A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸 4．（2021秋•洛江区期末）如图，在△ABC中，AB＝10cm，AC＝6cm，BC＝8cm，若将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合，则△AEB的面积为 　 　cm2． 5．（2021秋•兴文县校级期末）如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为 　 　． 6．（2021秋•靖江市校级期中）《九章算术》中有一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根三尺，问折者高几何？”题意是：一根竹子原高一丈（1丈＝10尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根3尺，则折断处离地面的高度为 　 　尺． 7．（2022春•谷城县期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边中点，它的顶端恰好到达池边的水面，求这根芦苇的长度是多少尺？ 8．（秋•东台市期中）如图，折叠长方形的一边AD，使点D落在边BC的点F处，已知AB＝8cm，BC＝10cm，求 （1）FC的长． （2）EF的长． 9．（2020秋•越城区期中）已知，如图，△ABC中，