专题03 平面向量基本定理、正交分解及坐标加减运算-2022-2023学年高一数学新教材同步提升之重点题型与难点突破（人教A版2019必修第二册）

专题03平面向量基本定理、正交分解及坐标加减运算 题型归类 题型一：正确理解基底的概念 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型二：用基底表示向量 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型三：平面向量基本定理的综合应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型四：平面向量的坐标表示 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型五：平面向量的坐标运算 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型六：向量相等坐标关系的应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 题型七：平面向量坐标运算的综合应用 单选1★★+2★★★+多选3★★填空4★★填空5★★+方法技巧 难点突破 突破点一：向量坐标运算与三角函数的综合 突破点二：新定义问题 突破点三：用向量解决平面几何问题 突破点四：平面向量基本定理综合运用 突破点五：平面向量与参数取值范围 一、题型归类 【题型一】正确理解基底的概念 1★★（单选）设e1，e2是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 【解析】B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，所以6e1－8e2与3e1－4e2共线，所以不能作为基底；A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底. 故选B. 2★★★（单选）若使e1，e2是平面α内所有向量的一个基底，那么下列命题正确的是(　　) A．若实数λ1，λ2，使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0 B．空间任一向量a可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2，其中λ1，λ2∈R C．对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2不一定在平面α内 D．对平面α中的任一向量a，使a＝λ1e1＋λ2e2的实数λ1，λ2有无数对 【解析】由基底的定义可知，e1和e2是平面上不共线的两个向量，所以若实数λ1，λ2使λ1e1＋λ2e2＝0，则λ1＝λ2＝0，不是空间任一向量都可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，而是平面α内的任一向量a，可以表示为a＝λ1e1＋λ2e2的形式，此时实数λ1，λ2有且只有一对，而对实数λ1，λ2，λ1e1＋λ2e2一定在平面α内. 故选A. 3★★（多选）下列关于基底的说法正确的是(　　) A．平面内不共线的任意两个向量都可作为一个基底 B．基底中的向量可以是零向量 C．平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的 D．以上三项都正确 【解析】由基底的定义可知A，C正确. 故选AC. 4★★（填空）设e1，e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：①e1与e1＋e2；②e1－2e2与e2－2e1；③e1－2e2与4e2－2e1；④e1＋e2与e1－e2. 其中，不能作为平面内所有向量的一个基底的是________(写出满足条件的序号). 【解析】①设e1＋e2＝λe1，则无解， 所以e1＋e2与e1不共线，即e1与e1＋e2能作为一个基底． ②设e1－2e2＝λ(e2－2e1)则(1＋2λ)e1－(2＋λ)e2＝0，则无解，所以e1－2e2与e2－2e1不共线，即e1－2e2与e2－2e1能作为一个基底． ③因为e1－2e2＝－(4e2－2e1)，所以e1－2e2与4e2－2e1共线，即e1－2e2与4e2－2e1不能作为一个基底． ④设e1＋e2＝λ(e1－e2)，则(1－λ)e1＋(1＋λ)e2＝0，则无解，所以e1＋e2与e1－e2不共线，即e1＋e2与e1－e2能作为一个基底． 答案：③ 5★★（解答）设e1，e2是不共线的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)证明：a，b可以作为一组基底； (2)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值. 【解析】(1)证明　若a，b共线，则存在λ∈R，使a＝λb，则e1－2e2＝λ(e1＋3e2). 由e1，e2不共线，得即 所以λ不存在，故a与b不共线，可以作为一组基底. (2)解　由4e1－3e2＝λa＋μb， 得4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. 所以所以 故所求λ，μ的值分别为3和1. 【方法技巧】 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线。此外，平面内的一个基底一旦确定，那