6.2.4向量的数量积　课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

6.2.4向量的数量积 1 共线向量定理： 向量与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使. 推论： A、B、C三点共线 复习回顾 如图，一个物体在力F的作用下产生位移s，且力的方向与位移的方向的夹角为θ，则力F所做的功为： F s  ┓ 情境引入: 在物理中，我们学过力做的功的概念 功是一个标量，它由力和位移两个量来确定。受此启发，我们引入向量“数量积”的概念。 已知两个非零向量 ，O是平面上的任意一点，作 ，则 叫做向量 与 的夹角，记作 <a,b>.       B 1.向量的夹角 O A B O A B 向量 与 的夹角的取值范围为： B O A 注：两个向量只有公共起点时所对应的角才是向量的夹角. A.30° B.60° C.120° D.150° √ 　　已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ 例1 即a＋b与a的夹角是30°，a－b与a的夹角是60°. 因为|a|＝|b|＝2， 所以平行四边形OACB是菱形， 又∠AOB＝60°， 步步高P11 规定:零向量与任一向量的数量积为0. 2.向量数量积的定义： 已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为θ，我们把数量叫做 与 的数量积（或内积），记作 ，即 变形： 注： 之间用实心圆点“ · ”连接，不能省略,更不能写成“ × ”。 例9 已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=120°，求a·b。 解：a·b = |a| |b|cosθ= 5×4×cos120° =5×4×（-1/2）= －10 解： 例10 设 ，求 与 的夹角 。 课本P17-18 课本P20练习 思考：两个向量的数量积与数乘向量有什么区别？ （1）向量的线性运算的结果是向量， （2）向量的数量积却是一个数量，而不是向量，其大小与两个向量的长度以及夹角都有关，符号由夹角的余弦值决定。 探究1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？ 当 时， 为正； 当 时， 为零。 当 时， 为负； 课本P20练习 知识梳理 投影 投影 4.投影向量 a b A B C D A1 B1 投影向量： 投影向量= 投影 x 单位向量 课本P19 投影:OM1= =|a|cos 探究2 显然， 与 共线，于是             下面探讨 与 的关系，进而给出 的明确表达式。 如下图，设与 方向相同的单位向量为 ， 与 的夹角为 ，那么 与 之间有怎样的关系？ N 当 为钝角时， 与 方向相反，所以 当 为锐角时， 与 方向相同， ，所以 当 为直角时， ，所以 即 当 时， ，所以 当 时， ，所以 从上面的讨论可知，对于任意的 ，都有 课本P20练习 　　已知|a|＝5，|b|＝4，a与b的夹角θ＝120°，与b同向的单位向量为e. (1)求a·b； 例3 a·b＝|a||b|cos θ ＝5×4×cos 120°＝－10. 步步高P11 (2)求a在b上的投影向量. 　　　已知向量a，b满足|b|＝2，a与b的夹角为60°，则b在a上的投影向量的模是________. 跟踪训练3 已知向量a，b的夹角θ＝60°， 1 步步高P12 　　已知正△ABC的边长为1，求： 例2 步步高P11 跟踪训练2 0 －16 －16 步步高P11 (2)设|a|＝1，|b|＝2，a·b＝1，则a与b的夹角为_____. 1.知识清单： (1)向量的夹角. (2)向量数量积的定义. (3)投影向量. (4)向量数量积的性质. 2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角， a·b<0⇏两向量 夹角为钝角. 课堂小结 3、当a与b同向时， 2、 4、 设 a 与