重难专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题01 妙用奔驰定理解决三角形面积比问题 【题型归纳目录】 题型一：直接使用奔驰定理 题型二：三角形面积比问题 【方法技巧与总结】 奔驰定理---解决面积比例问题 重心定理：三角形三条中线的交点. 已知的顶点，，，则△ABC的重心坐标为. 注意：（1）在中，若为重心，则． （2）三角形的重心分中线两段线段长度比为2:1，且分的三个三角形面积相等． 重心的向量表示：． 奔驰定理：，则、、的面积之比等于 奔驰定理证明：如图，令，即满足 ，，，故. （3）为内一点，，则. 重要结论：，，. 结论1：对于内的任意一点， 若、、的面积分别为、、，则： . 即三角形内共点向量的线性加权和为零，权系数分别为向量所对的三角形的面积. 结论2：对于平面内的任意一点，若点在的外部，并且在的内部或其对顶角的内部所在区域时，则有. 结论3：对于内的任意一点， 若，则、、的面积之比为. 即若三角形内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对的三角形面积之比等于权系数之比. 结论4：对于所在平面内不在三角形边上的任一点，，则、、的面积分别为. 即若三角形平面内共点向量的线性加权和为零，则各向量所对应的三角形面积之比等于权系数的绝对值之比.各向量所对应的三角形是指另外两个向量所在的三角形. 【典型例题】 题型一：直接使用奔驰定理 例1．（2023春·河南安阳·高一统考期末）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 例2．（多选题）（2023·高一单元测试）如图，为内任意一点，角的对边分别为，则总有优美等式成立,此结论称为三角形中的奔驰定理.由此判断以下命题中，正确的有（    ） A．若是的重心，则有 B．若，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，且，则 【答案】ABD 【解析】对于A，是的重心，则, 代入就得到,正确； 对于B，设点P到边的距离分别为， 由得，，即，与已知条件比较知，，则是的内心，正确； 对于，即， 与比较得到，，错误； 对于D，是的外心，且，则，设三角形外接圆半径为R， 所以， 代入奔驰定理即可得到，正确， 故选：ABD. 例3．（多选题）（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）点是所在平面内一点，且，下列说法正确的是（    ） A．若，则点是边的中点 B．若点是边靠近点的三等分点，则 C．若点在边的中线上且，则点是的重心 D．若，则与的面积相等 【答案】AD 【解析】A若，，即点是边的中点，故正确； B当时，，点是边靠近点的三等分点，故错误； C点在边的中线上且，点为边的中线的中点，故不是重心； D设，，则，，故点在直线上，点与点到边的距离相等，故与的面积相等. 故选：AD 例4．（多选题）（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为，，，且．设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（    ） A．若，则 B．若，，，则 C．若O为△ABC的内心，，则 D．若O为△ABC的垂心，，则 【答案】ACD 【解析】对A，由奔驰定理可得，，又不共线，故，A对； 对B，，由得，故，B错； 对C，若O为△ABC的内心，，则，又（为内切圆半径），三边满足勾股定律，故，C对； 对D，若O为△ABC的垂心，则，， 又， 同理，∴， ∵，则， 且 如图，分别为垂足， 设，，则， 又，故， 由，解得， 由，故，D对故选：ACD 例5．（多选题）（2023秋·河南洛阳·高一宜阳县第一高级中学校考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，且则下列选项正确的有（    ） A． B．直线过边的中点 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】，则，A正确； 若，则， 所以是△的重心， 直线过中点，而与不平行， 所以直线不过边的中点，B错误； 又，而，， 所以，C正确； 若，且， 所以， 而，D正确. 故选：ACD 例6．（多选题）（2023春·湖南永州·高一永州市第一中学校考期中）已知点O为所在平面内一点，，则下列选项正确的是（    ） A． B．直线AO必过BC边的中点 C． D．若，则 【答案】ACD 【解析】由题意，点O为所在平面内