重难专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题-2022-2023学年高一数学新教材同步配套教学讲义（苏教版2019必修第二册）

专题02 平面向量痛点问题之三角形“四心”问题 【题型归纳目录】 题型一：重心定理 题型二：内心定理 题型三：外心定理 题型四：垂心定理 【知识点梳理】 一、四心的概念介绍： （1）重心：中线的交点，重心将中线长度分成2：1． （2）内心：角平分线的交点（内切圆的圆心），角平分线上的任意点到角两边的距离相等． （3）外心：中垂线的交点（外接圆的圆心），外心到三角形各顶点的距离相等． （4）垂心：高线的交点，高线与对应边垂直． 二、三角形四心与推论： （1）是的重心：． （2）是的内心：． （3）是的外心： ． （4）是的垂心： ． 【方法技巧与总结】 （1）内心：三角形的内心在向量所在的直线上. 为的内心. （2）外心：为的外心. （3）垂心：为的垂心. （4）重心：为的重心. 【典型例题】 题型一：重心定理 例1．（2023春·山东聊城·高一山东聊城一中校考阶段练习）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（    ） A．垂心 B．内心 C．外心 D．重心 【答案】D 【解析】因为，所以. 以GA、GB为邻边作平行四边形GADB，连接GD交AB于点O.如图所示: 则，所以，CO是AB边上的中线，所以G点是△ABC的重心. 故选：D 例2．（2023春·山东·高一阶段练习）已知G是的重心，点D满足，若，则为（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【解析】因为， 所以为中点， 又因为G是的重心， 所以， 又因为为中点， 所以， 所以， 所以， 所以. 故选：A 例3．（2023春·上海金山·高一上海市金山中学校考期末）记内角的对边分别为，点是的重心，若则的取值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，作出图形， 因为点是的重心，所以是的中点，故， 由已知得， 因为，所以， 又因为点是的重心，所以，则， 又因为，所以，则， 又由余弦定理得，所以，整理得， 因为，令，则， 所以， 则. 故选：D. 例4．（多选题）（2023春·安徽安庆·高一校考阶段练习）在中，D，E，F分别是边的中点，点G为的重心，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】如图： 对于选项A，，即选项A错误； 对于选项B，点为的重心，则，即选项B正确； 对于选项C，，即选项C正确； 对于选项D，，即，即选项D正确， 故选：BCD． 题型二：内心定理 例5．（2023春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末）已知点P为的内心，，若，则______． 【答案】 【解析】在，由余弦定理得, 设分别是边上的切点，设，则，所以， 由得，，即，① 同理由,② 联立①②以及即可解得：， 故答案为： 例6．（多选题）（2023·高一单元测试）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（    ） A．若为的垂心，，则 B．若为锐角的外心，且，则 C．若，则点的轨迹经过的重心 D．若，则点的轨迹经过的内心 【答案】ABC 【解析】对于A选项，因为，，又因为为的垂心， 所以，所以，故正确； 对于B选项，因为且， 所以，整理得：，即， 设为中点，则，所以三点共线， 又因为，所以垂直平分，故，正确； 对于C选项，由正弦定理得， 所以， 设中点为，则，所以， 所以三点共线，即点在边的中线上，故点的轨迹经过的重心，正确； 对于D选项，因为， 设中点为，则，所以， 所以， 所以，即， 所以，故在中垂线上，故点的轨迹经过的外心，错误. 故选：ABC 例7．（多选题）（2023春·福建泉州·高一校联考阶段练习）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列命题正确的是（　　） A．若A＝30°，，，则△ABC有两解 B．若，则角A最大值为30° C．若，则△ABC为锐角三角形 D．若，则直线AP必过△ABC内心 【答案】ABD 【解析】对于选项A：bsinA＝4sin30°＝2，则bsinA＜a＜b， 所以，△ABC有两解，A选项正确； 对于选项B：设（以为基底），则， ∵∴=0 则，即 ∴ ∵，∴，B选项正确； 对于选项C：∵，∴，又∴C为锐角 若C为最大角， 则△ABC为锐角三角形，否则△ABC为锐角三角形或直角三角形或钝角三角形，C选项错误； 对于选项D：∵表示与同向的单位向量，表示与同向单位向量     又∵与不共线 ∴与菱形对角线向量共线 ∴直线AP为角A的角平分线，即直线AP必过△ABC内心， D选项正确． 故选：ABD． 例8．（2023春·上海浦东新·高一校考期末）已知点是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则点的轨迹一定通过的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】分别表示方向的单位向量， 令，， 则，即， 又，