河南省郑州市2023届高三第一次质量预测文科数学试题

郑州市2023年高中毕业年级第一次质量预测 文科数学试题卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 2 3. 设，则“”是“”的（ ）. A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 记为等比数列的前n项和．若，，则（ ） A. 32 B. 31 C. 63 D. 64 5. 将2个1和3个0随机排成一行，则2个1不相邻的概率为（ ） A. 0.3 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.8 6. 过抛物线的焦点F作直线交抛物线于、两点，若，则的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 7. 已知函数，，下图可能是下列哪个函数的图像（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 若，则函数在上存在零点 B. 若，则将函数的图象向左平移个单位长度，所得图象关于原点对称 C. 若函数在上取到最大值，则ω最小值为 D. 若函数在上存在两个最值，则的取值范围是 9. 设f（x）是定义域为R的奇函数，且．若，则（ ） A. B. C. D. 10. 在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 11. 设，为双曲线C：左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，2）．当取最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知且且且，则（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 若两个非零向量，满足，则与的夹角为______． 14. 设函数则满足的x的取值范围是______． 15. 已知圆柱的两个底面的圆周在体积为的球O的球面上，则该圆柱的侧面积的最大值为______． 16. “外观数列”是一类有趣的数列，该数列由正整数构成，后一项是前一项的“外观描述”．例如：取第一项为1，将其外观描述为“1个1”，则第二项为11；将描述为“2个1”，则第三项为21；将21描述为“1个2，1个1”，则第四项为1211；将1211描述为“1个1，1个2，2个1”，则第五项为111221，…，这样每次从左到右将连续的相同数字合并起来描述，给定首项即可依次推出数列后面的项．则对于外观数列，下列说法正确的有______． ①若，则从开始出现数字2； ②若（，2，3，…，9），则的最后一个数字均为k； ③不可能为等差数列或等比数列； ④若，则均不包含数字4． 三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：共60分． 17. 自主创新是我国经济发展的核心动力，科技自立自强已被赋予国家发展战略支点的功能．目前实现科技自立自强我们仍面临巨大挑战，越来越多的企业主动谋划、加快发展，推动我国科技创新迈上新台阶．某企业拟对某芯片进行科技升级，根据市场调研与模拟，得到科技升级投入x（亿元）与科技升级直接收益y（亿元）的数据统计如下： 序号 1 2 3 4 5 6 7 x 2 3 4 6 8 10 13 y 13 22 31 42 50 56 58 根据表格中的数据，建立了y与x的两个回归模型：模型①：；模型②：． （1）根据下列表格中的数据，比较模型①、②的相关指数的大小，并选择拟合精度更高、更可靠的模型； （2）根据（1）选择的模型，预测对芯片科技升级的投入为17亿元时的直接收益． 回归模型 模型① 模型② 回归方程 182.4 79.2 （附：刻画回归效果的相关指数，） 18. 如图，在四棱锥中，底面ABCD，⊥，，，，点E为棱PC的中点． （1）证明：平面⊥平面PCD； （2）求四棱锥的体积； 19. 在△ABC中，内角，，所对的边分别是，，，且． （1）求角的大小； （2）若是边上一点，且，若，求△ABC面积的最大值． 20. 已知函数． （1）若，求c的取值范围； （2）设时，讨论函数的单调性． 21. 已知椭圆C：的离心率为，直线过椭圆C的两个顶点，且原点O到直线的距离为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）当过点P（0，2）的动直线l与椭圆C相交于两个不同点A，B时，求的取值范围． （二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所写的第一题计分． 22. 在直角坐标系中，曲线的