专题09 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型-2022-2023学年七年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题09 平行线模型-“骨折”和“抬头”模型 专题说明 学习前面两次课的平行线模型做题方法，相信同学们都掌握了做题方法和技巧，本次课学习平行线最后两个模型：平行线模型-“骨折”和“抬头”模型，为以后的学习打好一个坚实的基础。 【模型刨析】 模型三“抬头”模型 点P在EF右侧，在AB、 CD外部 “臭脚”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP； 结论2：若∠P=∠AEP-∠CFP或∠P=∠CFP-∠AEP，则AB∥CD. 模型四“骨折”模型 点P在EF左侧，在AB、 CD外部 “骨折”模型 结论1：若AB∥CD，则∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP； 结论2：若∠P=∠CFP-∠AEP或∠P=∠AEP-∠CFP，则AB∥CD. 【典例分析】 【类型一：“骨折”模型】 【典例1】（2022春•铜仁市期末）2022北京冬奥会掀起了滑雪的热潮，很多同学纷纷来到滑雪场，想亲身感受一下奥运健儿在赛场上风驰电掣的感觉，但是第一次走进滑雪场的你，学会正确的滑雪姿势是最重要的，正确的滑雪姿势是上身挺直略前倾，与小腿平行，使脚的根部处于微微受力的状态，如图所示，AB∥CD，如果人的小腿CD与地面的夹角∠CDE＝60°，你能求出身体BA与水平线的夹角∠BAF的度数吗？若能，请你用两种不同的方法求出∠BAF的度数． 【变式1-1】（2017春•如皋市校级期中）如图，AB∥CD，EMNF是直线AB、CD间的一条折线．若∠1＝40°，∠2＝60°，∠3＝70°，则∠4的度数为（　　） A．55° B．50° C．40° D．30° 【变式1-2】（2021秋•雅安期末）如图，AB∥EF，∠BCD＝90°，探索图中角α，β，γ之间的关系式正确的是（　　） A．α+β+γ＝360° B．α+β＝γ+90° C．α+γ＝β D．α+β+γ＝180° 【变式1-3】（2014春•苏州期末）如图，已知AB∥CD，∠1＝∠2，∠E＝50°，则∠F＝（　　） A．40° B．50° C．60° D．70° 【类型二：“抬头”模型】 【典例2】（2022春•长沙期中）问题情境 我们知道，“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补”，所以在某些探究性问题中通过“构造平行线”可以起到转化的作用． 已知三角板ABC中，∠BAC＝60°，∠B＝30°，∠C＝90°，长方形DEFG中，DE∥GF． 问题初探 （1）如图（1），若将三角板ABC的顶点A放在长方形的边GF上，BC与DE相交于点M，AB⊥DE于点N，求∠EMC的度数． 分析：过点C作CH∥GF．则有CH∥DE，从而得∠CAF＝∠HCA，∠EMC＝∠MCH，从而可以求得∠EMC的度数． 由分析得，请你直接写出：∠CAF的度数为 　 ，∠EMC的度数为 　　． 类比再探 （2）若将三角板ABC按图（2）所示方式摆放（AB与DE不垂直），请你猜想写∠CAF与∠EMC的数量关系，并说明理由． （3）请你总结（1），（2）解决问题的思路，在图（3）中探究∠BAG与∠BMD的数量关系？并说明理由． 【变式2-1】（2020春•乳山市期中）【信息阅读】 材料信息： 如图①，AB∥DE，点C是直线AB，DE外任意一点，连接BC，DC． 方法信息： 如图②，在“材料信息”的条件下，∠B＝55°，∠D＝35°，求∠BCD的度数． 解：过点C作CF∥AB． ∴∠BCF＝∠B＝55°． ∵AB∥DE， ∴CF∥DE． ∴∠DCF＝∠D＝35°． ∴∠BCD＝55°﹣35°＝20°． 【问题解决】 （1）通过【信息阅读】，猜想：∠B，∠D，∠BCD之间有怎样的等量关系？请直接写出结论：　 ； （2）如图③，在“材料信息”的条件下，改变点C的位置，∠B，∠D，∠BCD之间的等量关系是否改变？若不改变，请写出理由；若改变，请写出新的等量关系及理由． 【夯实基础】 1．（2022秋•青岛期末）如图，AB∥DE，∠ABC＝80°，∠CDE＝140°，则∠BCD的度数为（　　） A．30° B．40° C．60° D．80° 2．（2022秋•东莞市校级期中）如图，AB∥CD，∠A＝70°，∠C＝40°，则∠E为（　　） A．30° B．40° C．35° D．70° 3．（2022春•林州市期末）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β和γ的关系是（　　） A．β＝α+γ B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90° D．β+γ﹣α＝180° 4．（2020春•恩平市期中）如图，AB∥EF，∠C＝90°，则α、β、γ的关系是（　　） A．β+γ﹣α＝90° B．α+β+γ＝180° C．α+β﹣γ＝90°