专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用-2022-2023学年八年级数学下册《高分突破•培优新方法》（北师大版）

专题06 角平分线＋垂直构造全等模型综合应用 当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。 解题思路 角平分线＋垂直构造全等模型：秘籍：往角两边作垂线 解读：用角平分线上的点往角两边作垂线，这是常用的辅助线，可以利用边角边构造全等 典例分析 【典例1】（秋•袁州区校级期中）如图，∠AOB＝90°，OM是∠AOB的平分线，将三角尺的直角顶点P在射线OM上滑动，两直角边分别与OA，OB交于点C和D，证明：PC＝PD． 【变式1-1】（秋•江北区期末）如图，D是∠EAF平分线上的一点，若∠ACD+∠ABD＝180°，请说明CD＝DB的理由． 【变式1-2】（2022秋•兴化市校级期末）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE． （1）求证：OC平分∠MON； （2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长． 【变式1-3】（2022秋•璧山区期中）如图，△ABC中，点D在边BC延长线上，∠ACB＝100°，∠ABC的平分线交AD于点E，过点E作EH⊥BD，垂足为H，且∠CEH＝50°． （1）求∠ACE的度数； （2）求证：AE平分∠CAF； （3）若AC+CD＝14，AB＝8.5，且S△ACD＝21，求△ABE的面积． 【典例2】（2022秋•利川市期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝∠C＝90°，点E为BC的中点，且AE平分∠BAD． （1）求证：DE平分∠ADC； （2）求证：AB+CD＝AD． 【变式2-1】（2022秋•聊城期末）如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC．求证： （1）AM⊥DM； （2）M为BC的中点． 【变式2-2】（2021秋•江汉区校级月考）如图，在四边形ABCD中，CE⊥AB，已知CB＝CD，AC平分∠BAD；求证： （1）∠B+∠ADC＝180°； （2）AD+AB＝2AE． 【变式2-3】（2021秋•长沙期末）如图，射线AD平分∠CAB，点F是AD上一点，FG垂直平分BC于点G，FH⊥AB于点H，连接FC，若AB＝10，BH＝2，求AC． 夯实基础 1．（2022秋•大安市期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，垂足为D，其中CE＝4.5，AB＝10， （1）求DE的长度． （2）求△ABE的面积． 2．（2022秋•门头沟区期末）如图，点P在∠AOB的平分线上，PC⊥OA于点C，∠AOB＝30°，点D在边OB上，且OD＝DP＝2．求线段CP的长． 3．（2021秋•洋县期末）如图，AB∥CD，已知∠CAB和∠ACD的平分线相交于点O，OE⊥AC，垂足为E，若AC＝10，AO＝6，求AE的长． 4．（2022秋•谷城县期中）如图，在△ABC中，AD是角平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是10cm2，AB＝6cm，AC＝4cm，求DE的长． 5．（2022秋•金东区校级月考）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E，F． （1）求证：DE＝DF； （2）若△ABC的面积为70，AB＝16，DE＝5，求BC的长． 6．（2022秋•沙洋县期中）如图，某个居民小区C附近有三条两两相交的道路MN、OA、OB，拟在MN上建造一个大型超市，使得它到OA、OB的距离相等，请确定该超市的位置P． 7．（2022秋•江阴市期中）已知△ABC中，∠B＝50°，∠C＝70°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E点． （1）求∠EAD的度数； （2）AB＝10，AC＝8，DE＝3，求S△ABC． 8．（2022春•海阳市期末）如图，AD∥BC，∠D＝90°，∠CPB＝30°，∠DAB的角平分线与∠CBA的角平分线相交于点P，且D，P，C在同一条直线上． （1）求∠PAD的度数； （2）求证：P是线段CD的中点． 9．（2022春•岳麓区校级期末）如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，AB＝12，BC＝8． （1）求△CBD与△ABD的面积之比； （2）若△ABC的面积为50，求DE的长． 10．（2022春•新城区校级期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高． （1）请说明AE＝AF的理由； （2）若AB﹣AC＝2，CF＝1，求线段BE的长． 11．（2022春•攸县期末）如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB，CD⊥AD，点E、D为垂足，CF＝CB． （1）求证：BE＝FD； （2）若AC＝10，AD＝